Integració
De Viquipèdia
La integració matemàtica és un procés de càlcul d'àrees.
La base del càlcul integral és la Funció Primitiva que es defineix com la relació dependent de dades sobre un (o més) valors, que declaren els límits d'un àrea.
Siguin F i f dues funcions definides sobre el mateix interval(o, més generalment, domini):
F és una primitiva de f si i només si f és la derivada de F: F' = f.
La derivada d'una funció, quan existeix, és única, però en el cas de la primitiva no ocorre així ja que si F és una primitiva de f, també ho és F + k, on k és qualsevol constant real.
Per a trobar una primitiva d'una funció determinada, n' hi ha prou amb descomposar-la en forma d'una combinació linial en funcions elementals les primitives de les quals són conegudes:
principals primitives:
| Funció F: primitiva de f | funció f: derivada de F |
|---|---|
 |
xn, per a tot n ≠ -1 |
| ex + k | ex |
| lnx + k |  |
 |
 , per a tot n ≠ 1 |
| − cosx + k | sinx |
| sinx + k | cosx |
 , a > 0 i a ≠ 1 |
ax |
 |
 |
| ax + b | a |
Com difereixen les primitives d'una mateixa funció f només en una constant, resulta que la diferència F(b) - F(a) té un valor que no depen de la primitiva escollida. És per tant lògic fer-ne la notació sense mencionar F, sinó tan sols a f:
S'anomena integral de f entre a i b a aquest valor.
La integral és concretament en geometria l'àrea entre la corba de f, l'eix de les x,i dues rectes verticals x = a i x = b: aquest és el teorema fonamental de l'anàlisi.
Per linialitat, quan f és negativa en un interval també ho és la seva integral. Per tant l'àrea anterior és algebraica i no geomètrica.
Si una funció es alternadament positiva i negativa, la seva integral serà la suma de les àrees positives i negatives entre la corba de f i l'eix de les x.
