Det gyldne snit

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Det gyldne snit (også kendt som det guddommelige forhold) er et irrationalt tal, som ofte dukker op i naturen og som har en lang række interessante egenskaber. Tallet betegnes inden for matematikken med det græske bogstav φ phi (ikke at forveksle med π pi).

Phis værdi er:

$\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033988749894848204586834366 \$

Phi har relation til fibonaccitalfølgen 1 1 2 3 5 8 13 21 ... osv. – en talfølge der er berømt, ikke kun fordi summen af to naboelementer er lig med det følgende element, men også fordi at kvotienten af to naboelementer gradvis nærmer sig (konvergerer mod) tallet phi.

Phi anses af nogle for at være det smukkeste talforhold i verden. Modpolerne udgøres bl.a. af den amerikanske matematiker George Markowsky, som ikke mener at det gyldne snit kan anerkendes som specielt harmonisk, og af den tyske fysiker Peter Richter, som ved sin forskning i ulineære tilstande i naturen (fraktaler), igen og igen er stødt på netop phi.

Den menneskelige figurs proportioner af Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci forskede i tallet phi, og forsøgte at påvise, at det gyldne snit ligger til grund for fx menneskets proportioner. Og han lavede en version af den vitruvianske mand, Den menneskelige figurs proportioner (som nok er den af Leonardo da Vincis tegninger som er mest berømt) for at anskueliggøre sin hypotese.

Phi findes også i et pentagram, bl.a. fordi de enkelte streger krydser præcis i forholdet 1:phi.

[redigér] Nogle definitioner af tallet phi

Den korteste definition på phi er, at phi i anden er lig med phi plus én.

Phi er et irrationalt tal der kan bestemmes som den positive løsning til ligningen:

φ 2 = φ + 1

eller

$\phi^3 = \frac{\phi + 1}{\phi - 1}$

eller

φ - 1 = φ - 1

hvilket giver løsningen:

$\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

Betragt et linjestykke som vi med et "snit" ønsker at dele i to mindre linjestykker, nemligt et stort med længde a og et lille med længde b. Lad os kalde snittet gyldent hvis hele det oprindelig linjestykke forholder sig til den store del på samme måde som den store forholder sig til den lille, altså

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$