Kvadratkomplettering

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Kvadratkomplettering er en teknik i algebra, hvis grundlæggende formål er at reducere en variabel med et polynomium af anden grad i en ligning eller i et matematisk udtryk, så der fremkommer et lineært polynomisk udtryk i anden potens. Derved gøres det i mange sammenhænge lettere at løse ligningen.

Indholdsfortegnelse

1 Oversigt
2 Almindelig formel
3 Eksempler
4 Komplekse versioner af kvadratkomplettering
5 Se også

[redigér] Oversigt

Ved kvadratkomplettering transformeres et andengradspolynomiom altså til et kvaderet lineært polynomiun og en konstant. Det betyder, at et polynomium af formen

$a x^2 + b x\,\!$

ændres til et af formen

$(c x + d)^2 + e\,\!$

Det bemærkes, at koefficienterne a, b, c, d og e ovenfor selv kan være matematiske udtryk og indeholde andre variable end x.

Den vigtigste anvendelse af kvadratkomplettering er at finde løsningerne til andengradsligningen.

[redigér] Almindelig formel

For

$a x^2 + b x = (c x + d)^2 + e \,\!$

har vi

$c = \sqrt{a}\,\!$

$d = \frac{b}{2\sqrt{a}}\,\!$

$e = -d^2 = -\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)^2 \,\!$

Eller

$a x^2 + b x = \left(x \sqrt{a} + \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2 - \left(\frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)^2\,\!$

[redigér] Eksempler

[redigér] Eksempel 1

Et meget simpelt eksempel er:

$x^2+4x = x^2+4x+4-4 = (x+2)^2-4\,\!$

[redigér] Eksempel 2

Et andet simpelt eksempel er at finde rødderne af:

$\begin{matrix} x^2 + 6x - 16 &=& 0 &\\ x^2 + 6x &=& 16 &\\ x^2 + 6x + (\frac{6}{2})^2 &=& 16 + (\frac{6}{2})^2 & *\\ x^2 + 6x + 9 &=& 16 + 9 &\\ (x + 3)^2 &=& 25 &\\ (x + 3) &=& \sqrt{25} &\\ x + 3 &=& \pm5 &\\ x &=& \pm5 - 3 &\\ x &=& - 8 , 2 &\\ \end{matrix}$

* kvadratkompletteringen

[redigér] Eksempel 3

Betragt problemer med at finde følgende integral:

$\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}\,\!$ .

Det kan gøres ved hjælp af kvadratkomplettering af nævneren. Nævneren er

$9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241\,\!$ .

Når kvadratet kompletteres ved at lægge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadrat x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

$9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^2+16\,\!$ .

Hvorfor integralet er

$\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C\,\!$ .

[redigér] Eksempel 4

Som en generalisering af eksempel 2, kan rødderne af:

$x^2 + bx +c = 0\,\!$ ,

findes ved at omforme ligningen, så "x" og "x i anden" ikke længere optræder. For at opnå dette, kompletteres kvadratet: tag halvdelen af koefficienten til "x", kvadrer den, og læg den til på begge sider af lighedstegnet, således:

$\begin{matrix} x^2 + bx +c &=& 0 &\\ x^2 + bx &=& -c &\\ x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 &=& -c+ (\frac{b}{2})^2 & *\\ (x + \frac{b}{2})^2 &=& (\frac{b}{2})^2 - c &\\ (x + \frac{b}{2}) &=& \pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^2 - c} &\\ x &=& - \frac{b}{2}\pm\sqrt{ (\frac{b}{2})^2 - c} & \end{matrix}$

* kvadratkomplettering

[redigér] Eksempel 5 (den generelle andengradsligning)

Eksempel 4 kan generaliseres yderligere til at finde løsningerne til den generelle andengradsligning

$a x^2 + b x + c = 0 \,\!$

idet der først foretages kvadratkomplettering således:

$\begin{matrix}a x^2 + b x + c &= &a \left(x^2 + \frac{b x}{a}\right) + c \\ & = & a \left(x^2 + \frac{b x}{a} + \left(\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{b^2}{4 a^2}\right)\right) + c \\ & = & a \left(x^2 + \frac{b x}{a} + \left(\frac{b}{2 a}\right)^2\right) - a \frac{b^2}{4 a^2} + c \\ & = & a \left(x^2 + 2\frac{b x}{2 a} + \left(\frac{b}{2 a}\right)^2\right) - a \frac{b^2}{4 a^2} + c \\ & = & a \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^2 - a \frac{b^2}{4 a^2} + c \end{matrix}\,\!$ .

hvoraf

$\begin{matrix} \left(x + \frac{b}{2 a}\right)^2 & = & \frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a} \\ x + \frac{b}{2 a} & = & \pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a} }\\ x & = & \pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a}} - \frac{b}{2 a} \\ & = & \frac{\pm\sqrt{4 a^2 (\frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a})}}{2 a} - \frac{b}{2 a} \\ & = & \frac{- b \pm\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}\,\!$

[redigér] Komplekse versioner af kvadratkomplettering

Betragt udtrykket

$|z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,$

hvor $z$ og $b$ er komplekse tal, $z *$ og $b *$ er de komplexe conjugationer af henholdsvis $z$ og $b$ , og $c$ er et reelt tal. Dette kan udtrykkes på denne måde:

$|z-b|^2 - |b|^2 + c,\,$

som klart er en virkelig mængde. Det er fordi

$\begin{matrix} |z-b|^2 &=& (z-b)(z-b)^* \\ &=& (z-b)(z^*-b^*) \\ &=& zz^* - zb^* - bz^* + bb^* \\ &=& |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 \end{matrix}$

Ligeledes kan udtrykket

$ax^2 + by^2 + c,\,$

hvor $a$ , $x$ , $b$ , $y$ og $c$ er reelle tal og $a > 0$ samt $b > 0$ , udtrykkes ved kvadratet af den absolutte værdi af et komplekst tal. Defineres

$z = \sqrt{a} x + i \sqrt{b} y,$

så

$\begin{matrix} |z|^2 &=& z z^* \\ &=& (\sqrt{a} x + i \sqrt{b} y)(\sqrt{a} x - i \sqrt{b} y) \\ &=& ax^2 - i\sqrt{a}\sqrt{b}xy + i\sqrt{b}\sqrt{a}yx - i^2by^2 \\ &=& ax^2 + by^2 \end{matrix}$