Gauß-Quadratur

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Die Gauß-Quadratur (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren zur numerischen Berechnung von Integralen der Form $\int_{a}^{b}\Phi(x)w(x)\,dx$ mit optimaler Ordnung (s.unten).

Der Integrand setzt sich zusammen aus einer beliebigen stetigen Funktion $Φ(x)$ und einer Gewichtsfunktion $w (x)$ . Der Integrationsbereich [a,b] ist nicht auf endliche Intervalle beschränkt.

Zur numerischen Berechnung wird das Integral durch die Summe

$\sum_{i=1}^{n}\Phi(x_{i})w_{i}$

approximiert, wobei $x i$ als Knoten oder Abszissenwerte und die Größen $w i$ als Gewichte bezeichnet werden.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die fundamentale Theorie der Gaußschen Quadratur besagt, dass die optimalen Abszissenwerte $x i$ einer Gauß-Quadraturformel vom Grad n genau den Nullstellen des n-ten orthogonalen Polynoms $P n$ vom Grad n entsprechen. Die Polynome $P 1$ , $P 2$ , ..., $P n$ müssen dabei orthogonal bezüglich des mit $w (x)$ gewichteten Skalarprodukts sein,

$\delta_{i,j}=\langle P_{i},P_{j}\rangle_w:=\int_{a}^{b}P_{i}(x)P_{j}(x)w(x)\,dx$

Für die Gewichte gilt:

$w_i = \int_{a}^{b} w(x)\prod_{j=1,j\not = i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}dx \quad i=1,\ldots,n$

Die Gauß-Quadratur stimmt für polynomiale Funktionen $Φ(x)$ , deren Grad maximal $2 n - 1$ ist, mit dem Wert des Integrals exakt überein. Es lässt sich zeigen, dass keine Quadraturformel existiert, die alle Polynome vom Grad $2 n$ exakt integriert. In dieser Hinsicht ist die Ordnung des Quadraturverfahrens optimal.

[Bearbeiten] Anwendung

Die Gaußsche Quadratur findet Anwendung bei der numerischen Integration. Dabei werden für eine gegebene Gewichtsfunktion und einen gegebenen Grad n, der die Genauigkeit der numerischen Integration bestimmt, einmalig die Stützpunkte $x i$ und Gewichtswerte $w i$ berechnet und tabelliert. Anschließend kann für beliebige $Φ(x)$ die numerische Integration durch einfaches Aufsummieren von gewichteten Funktionswerten erfolgen.

Dieses Verfahren ist damit potentiell vorteilhaft

wenn viele Integrationen mit derselben Gewichtsfunktion durchgeführt werden müssen und
wenn $Φ(x)$ hinreichend gut durch ein Polynom approximierbar ist.

Für einige spezielle Gewichtsfunktionen sind die Werte für die Stützstellen und Gewichte fertig tabelliert.

[Bearbeiten] Gauß-Legendre Integration

Hier handelt es sich um die bekannteste Form der Gauß-Integration auf dem Intervall $[ - 1,1]$ , sie wird oft auch einfach als Gauß-Integration bezeichnet. Es gilt $w (x) = 1$ . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Legendre-Polynome erster Art. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle $[a, b]$ erfolgt durch eine Variablentransformation.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Legendre Integration:

N=1	$x i$	$w i$
1	0	2
N=2	$x i$	$w i$
1	$-\sqrt{1/3}$ ≈ -0.57735026919	1
2	$\sqrt{1/3}$ ≈ 0.57735026919	1
N=3	$x i$	$w i$
1	$-\sqrt{3/5}$ ≈ -0.774596669241	5/9 ≈ 0.555555555556
2	0	8/9 ≈ 0.888888888889
3	$\sqrt{3/5}$ ≈ 0.774596669241	5/9 ≈ 0.555555555556
N=4	$x i$	$w i$
1	-0.861136311594053	0.347854845137454
2	-0.339981043584856	0.652145154862546
3	0.339981043584856	0.652145154862546
4	0.861136311594053	0.347854845137454
N=5	$x i$	$w i$
1	-0.906179845938664	0.236926885056189
2	-0.538469310105683	0.478628670499366
3	0	0.568888888888889
4	0.538469310105683	0.478628670499366
5	0.906179845938664	0.236926885056189

[Bearbeiten] Gauß-Tschebyschew Integration

Eine Variante der Gauß-Integration auf dem Intervall $[ - 1,1]$ . Es gilt $w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Tschebyschew-Polynome. Die Stützpunkte liegen hier oftmals günstiger im Vergleich zur Gauß-Legendre Integration. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle $[a, b]$ erfolgt durch eine Variablentransformation. Liegt der Integrand in der Form $\int_{-1}^{1}\,f(x)\,dx$ vor, so kann er umgeformt werden in $\int_{-1}^{1}w(x)\,\sqrt{1-x^2}\,f(x)\,dx$ . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe $\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,\sqrt{1-x_{i}^2}\,w_{i}$ approximiert.

[Bearbeiten] Gauß-Hermite Integration

Gauß-Integration auf dem Intervall $(-\infty,\infty)$ . Es gilt $w(x)=e^{-x^2}$ . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Hermite-Polynome. Liegt der Integrand in der Form $\int_{-\infty}^{\infty}\,f(x)\,dx$ vor, so kann er umgeformt werden in $\int_{-\infty}^{\infty}w(x)\,e^{x^2}\,f(x)\,dx$ . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe $\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_{i}^2}\,w_{i}$ approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Hermite Integration:

N=2	$x i$	$w i$	$w_i\,e^{x_i^2}$
1	-0.707106781187	0.886226925453	1.46114118266
2	0.707106781187	0.886226925453	1.46114118266
N=3	$x i$	$w i$	$w_i\,e^{x_i^2}$
1	-1.22474487139	0.295408975151	1.32393117521
2	0	1.1816359006	1.1816359006
3	1.22474487139	0.295408975151	1.32393117521
N=4	$x i$	$w i$	$w_i\,e^{x_i^2}$
1	-1.65068012389	0.0813128354472	1.2402258177
2	-0.524647623275	0.804914090006	1.05996448289
3	0.524647623275	0.804914090006	1.05996448289
4	1.65068012389	0.0813128354472	1.2402258177

[Bearbeiten] Gauß-Laguerre Integration

Gauß-Integration auf dem Intervall $[0,\infty)$ . Es gilt $w (x) = e - x$ . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Laguerre-Polynome. Liegt der Integrand in der Form $\int_{0}^{\infty}\,f(x)\,dx$ vor, so kann er umgeformt werden in $\int_{0}^{\infty}w(x)\,e^{x}\,f(x)\,dx$ . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe $\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\,e^{x_i}\,w_{i}$ approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Laguerre Integration:

N=2	$x i$	$w i$	$w_i\,e^{x_i}$
1	0.585786437627	0.853553390593	1.53332603312
2	3.41421356237	0.146446609407	4.45095733505
N=3	$x i$	$w i$	$w_i\,e^{x_i}$
1	0.415774556783	0.711093009929	1.07769285927
2	2.29428036028	0.278517733569	2.7621429619
3	6.28994508294	0.0103892565016	5.60109462543
N=4	$x i$	$w i$	$w_i\,e^{x_i}$
1	0.322547689619	0.603154104342	0.832739123838
2	1.74576110116	0.357418692438	2.04810243845
3	4.53662029692	0.038887908515	3.63114630582
4	9.3950709123	0.000539294705561	6.48714508441