Geodätische Krümmung
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Die geodätische Krümmung ist ein Begriff aus der Klassischen Differentialgeometrie.
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[Bearbeiten] Definition
Seien S eine orientierbare Fläche mit dem Normaleneinheitsvektor 
und 
eine nach der Bogenlänge s parametrisierte reguläre Kurve auf S. Dann heißt die Determinante
die geodätische Krümmung von bezüglich S.
[Bearbeiten] Bemerkungen
[Bearbeiten] Bemerkung 1
Es ist 
mit dem Hauptnormalenvektor 
und der Krümmung κ. (Hier wird 
als Raumkurve betrachtet.) Bezeichnet ψ den Winkel zwischen und , so können wir schreiben
,
wobei 
so gewählt ist, dass 
ein Orthonormalsystem bildet. Es folgt
.
Die ergänzende Komponente κn: = κcosψ heißt Normalkrümmung von bezüglich S.
[Bearbeiten] Bemerkung 2
Eine Kurve ist Geodäte genau dann, wenn ihre geodätische Krümmung verschwindet.
[Bearbeiten] Bemerkung 3
Der Wert von 
ist vorzeichenbehaftet. Kehrt man die Orientierung von S oder den Durchlaufsinn von um, so wechselt das Vorzeichen.
