Jacobi-Matrix

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Die Jacobi-Matrix (nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix genannt) ist die mehrdimensionale Erweiterung der aus der Schulmathematik bekannten eindimensionalen Ableitung. Genutzt wird sie z.B. in der näherungsweisen Berechnung/Approximation oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Die Jacobi-Matrix ist die $m \times n$ -Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen einer differenzierbaren Funktion

$f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m}$

Sie bildet die Matrix-Darstellung der ersten Ableitung der Funktion $f$ .

Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z.B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird Funktionaldeterminante genannt.

Allgemein lautet die Jacobi-Matrix:

$(\partial_k f_s(x_o))_{s,k}$ für $s=1,\ldots,m, k=1,\ldots,n$ .

Bei $n = m = 3$ :

$f(x, y, z) = \begin{pmatrix}f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}$

lautet sie:

$J = \frac{\partial f}{\partial (x, y, z)} = \begin{pmatrix} \partial f_1/\partial x & \partial f_1/\partial y & \partial f_1/\partial z \\ \partial f_2/\partial x & \partial f_2/\partial y & \partial f_2/\partial z \\ \partial f_3/\partial x & \partial f_3/\partial y & \partial f_3/\partial z \end{pmatrix}$

und kann, wenn man sie für einen Punkt $p$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von $f$ in der Nähe von $p$ verwendet werden:

$f(x, y, z) \approx f(p_x, p_y, p_z) + J_p \cdot \begin{pmatrix} x-p_x \\ y-p_y \\ z-p_z \end{pmatrix}$

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung.

Für $m = 1$ entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradienten von $f$ . Je nach Definition des Gradienten, der manchmal als Zeilenvektor und manchmal als Spaltenvektor definiert wird, unterscheidet sich jedoch in diesem Fall die Jacobi-Matrix als Zeilenvektor vom Gradienten.

Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.

[Bearbeiten] Jacobideterminante

Für den Fall $m = n$ ist $f$ eine $n \times n$ -Abbildung und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. Hierfür kann man dann die Jacobi-Determinante berechnen.

Diese Determinante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion $f$ in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Jacobideterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $p$ nicht null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von $p$ invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in $p$ die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Jacobideterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt $p$ gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von $f$ expandiert oder schrumpft.