Kettenkomplex

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Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von Vektorräumen oder abelschen Gruppen oder allgemein Objekten in abelschen Kategorien, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

[Bearbeiten] Definition

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

(C_n, n ∈ Z)

von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

(d_n: C_n → C_n−1)

von linearen Abbildungen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

d_n d_n+1 = 0

für alle n gilt. Elemente von C_n heißen n-Ketten. Elemente von

$Z_n(C,d):=\ker d_n\subseteq C_n$ bzw. $B_n(C,d):=\mathop{\mathrm{im}} d_{n+1}\subseteq C_n$

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung d_nd_n+1 = 0 ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

H n (C, d): = Z n (C, d) / B n (C, d)

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von (C,d), ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

(Cⁿ, n ∈ Z)

von Vektorräumen (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

(dⁿ: Cⁿ → Cⁿ⁺¹)

von linearen Abbildungen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

dⁿ dⁿ⁻¹ = 0

für alle n gilt. Elemente von Cⁿ heißen n-Koketten. Elemente von

$Z^n:=\ker d^n\subseteq C^n$ bzw. $B^n:=\mathop{\mathrm{im}} d^{n-1}\subseteq C^n$

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung dⁿdⁿ⁻¹ = 0 ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

H n (C, d): = Z n (C, d) / B n (C, d)

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von (C,d), ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Ein Kettenkomplex $(C *, d *)$ ist genau dann exakt an der Stelle $C i$ , wenn $H i (C *, d *) = 0$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

[Bearbeiten] Euler-Charakteristik

Es sei $(C, d)$ ein Kokettenkomplex aus Vektorräumen über einem Körper $K$ . Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

$\chi(C,d)=\sum_i(-1)^i\dim_K\mathrm H^i(C,d).$