Mediale Achse
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
In der Geometrie beschreibt die mediale Achse etwas wie die geometrische Mitte einer Punktmenge. Sie besteht aus allen Punkten (innerhalb oder außerhalb der Menge), von denen es keinen eindeutig bestimmten kürzesten Weg zum Rand der Menge gibt. Das heißt, es gibt mindestens zwei Richtungen in denen man von einem Punkt aus der medialen Achse am schnellsten zum Rand kommt.
Die mediale Achse besteht damit genau aus denjenigen Punkten p, zu denen der Abstand der Randpunkte R an mindestens zwei Stellen des Randes 
minimal wird: 
Die mediale Achse eines Objekts muss nicht unbedingt zusammenhängend sein; nur konvexe Objekte haben eine zusammenhängende mediale Achse. Ist ein Objekt nicht konvex, so befinden sich Teile der medialen Achse auch außerhalb des Objekts, nämlich beginnend zwischen den Einbuchtungen und ausgedehnt bis unendlich weit nach außen. Sofern die Objektkontur scharfe Features enthält (an unstetigen C1-Übergängen), berührt die mediale Achse an diesen Stellen die Objektkontur. An allen anderen Stellen ist dies nicht der Fall.
Der Abstand der medialen Achse zum Objekt ist damit so etwas wie ein Maß für den Detailreichtum der Menge.
Im 2D-Fall lässt sich die mediale Achse eines Objekts durch die Voronoi-Knoten approximieren, die sich genau auf der medialen Achse befinden. Dies gilt im 3D Fall nicht; hier befinden sich Teile der Voronoi-Knoten auch in der Nähe der Oberfläche.
[Bearbeiten] Formale Definition
Der Abstand eines Punktes 
von einer Punktemenge 
wird dabei zunächst definiert als 
Damit lässt sich die mediale Achse MAC formal wie folgt definieren 
.
