Mengenlehre

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Dieser Artikel befasst sich mit der mathematischen Theorie der Mengen. Eine erste Einführung in die Begriffe der Mengenlehre findet sich unter Menge (Mathematik).

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik oder Topologie werden auf der Mengenlehre aufgebaut. Darüber hinaus gibt es wichtige Verbindungen zur Prädikatenlogik.

[Bearbeiten] Geschichte

[Bearbeiten] Naive Mengenlehre

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor (1845–1918). Nach seiner Definition von 1877 ist eine Menge „eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen“. Die Mengenlehre auf der Grundlage dieser Definition wurde später als naive Mengenlehre bezeichnet. Sie führt zu Widersprüchen, insbesondere dann, wenn Mengen eingeführt werden, die sich selbst als Element enthalten. Am bekanntesten ist die Russellsche Antinomie.

[Bearbeiten] Typentheorie

Zur Vermeidung dieser Widersprüche hat Russell selbst einen stufenweisen Aufbau der Mengenlehre vorgeschlagen und hierfür 1903, zusammen mit Whitehead, die Typentheorie entwickelt. Danach hat eine Menge stets einen höheren Typ als ihre Elemente. Aussagen wie „diese Menge enthält sich selbst als Element“ lassen sich in dieser Theorie gar nicht formulieren.

Die Typentheorie wurde später zu einer axiomatischen Theorie ausgebaut. Sie lässt sich als widerspruchsfrei nachweisen. Ihre sprachlichen Mittel sind jedoch nicht stark genug, um die gesamte Mathematik darauf aufzubauen.

[Bearbeiten] Typenfreie axiomatische Mengenlehre

Andere Versuche, die Mengenlehre axiomatisch aufzubauen, verzichten auf die Definition von verschiedenen Mengentypen. Grundbegriffe sind hier nur noch

eine einzige Art von Objekten (nämlich Mengen) und
die Elementbeziehung zwischen diesen.

Das bekannteste System dieser Art ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, deren Grundlagen 1908 von E. Zermelo gelegt wurden. Die endgültige Fassung erfolgte 1922 aufgrund einer Arbeit von A. Fraenkel. Dieses System wird oft als „ZF“ zitiert. Noch von Zermelo wurde das – von diesem System logisch unabhängige – Auswahlaxiom hinzugefügt. In dieser Form wird es als „ZFC“ (C für choice – englisch: Auswahl) bezeichnet. Die Mehrheit der Mathematiker betrachtet heute ZFC als eine geeignete Grundlage für die moderne Mathematik.

Die einzige Grundrelation in ZF oder ZFC ist $\in$ (gesprochen: Element von), z. B. x $\in$ M, wenn x als Element in M enthalten ist. Die Existenz von „Urelementen“, die keine Mengen sind, wird in dieser Theorie nicht postuliert.

Die Axiome sind so formuliert, dass die bekannten Widersprüche der Cantorschen Mengenlehre vermieden werden. Wichtig sind hier vor allem das Fundierungsaxiom und das Aussonderungsaxiom, die es unmöglich machen, die Russellsche Antinomie zu formulieren. Einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt es jedoch nicht. Im Rahmen einer Mathematik, die auf der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre basiert, lässt sich ein solcher Beweis auch grundsätzlich nicht führen (Gödelscher Unvollständigkeitssatz).

[Bearbeiten] Präzisierung der Cantorschen Mengenlehre

Die erste Präzisierung nimmt Gottlob Frege in seiner Begriffsschrift 1879 vor, indem er eine Menge als die Extension eines Begriffs, als den Begriffsumfang definiert. So gibt es beispielsweise eine „Menge aller x mit der Eigenschaft 2x + 3 = 0“. Auf diese Definition bezog sich ursprünglich die Russellsche Antinomie.

Auch Mathematiker, die später nicht auf eine Axiomatisierung der Mengenlehre aufbauen wollten, mussten dafür sorgen, dass die bekannten Widersprüche ausgeschlossen werden.

Als Beispiel sollen hier die Definitionen von Erich Kamke dargestellt werden, dessen „Mengenlehre“ seit 1928 in zahlreichen Auflagen erschienen ist und als eine Standard-Einführung angesehen werden kann:

Kamke zitiert die Cantorsche Definition und erläutert dann:

(a) „Es sei $\mathfrak{E}$ eine wohldefinierte Eigenschaft(…), die mindestens einem 'Ding' zukommt oder eine Aussage, die für mindestens ein Ding wahr ist…“;

An späterer Stelle führt Kamke dazu aus: „Damit ist der Mengenbegriff auf einen Begriff ähnlicher Allgemeinheit zurückgeführt [gemeint ist der Begriff „Eigenschaft“], dessen genaue Festlegung keineswegs einfacher ist(…) Jedenfalls gibt es Eigenschaften, die nach übereinstimmender Meinung eine Menge einwandfrei festlegen, z. B. die Menge der natürlichen Zahlen(…). Wir wollen immer annehmen, dass von solchen einwandfreien Mengen ausgegangen wird.“ – Das Kamke-Zitat geht dann weiter:

„(…)ferner sei die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft $\mathfrak{E}$ eine wohlbestimmte Gesamtheit(…).“

Dazu gibt er die Anmerkung: „Ob das zutrifft, ist mit der auch sonst in der Mathematik üblichen Sorgfalt zu untersuchen“, und fährt dann fort:

(b) „Durch den Akt der Definition wird die Gesamtheit der 'Dinge' m mit der Eigenschaft $\mathfrak{E}$ als ein neues 'Ding' eingeführt und 'Menge' M oder M(m) genannt;(…)“

Als Konsequenz hieraus ergibt sich laut Kamke:

„Da durch die Bildung einer Menge ein neues Ding, ein neuer Begriff geschaffen werden soll(…), ist die Menge als verschieden vom jedem ihrer Elemente anzusehen(…) Hiernach sind folgende 'Mengen' sinnlos, da in sich selbst widerspruchsvoll:

(α) jede Menge, die sich selbst als Element enthält;

(β) die Menge aller Mengen, da sie sich selbst als Element enthalten müsste;

(γ) Die Menge aller Mengen, die sich nicht als Element enthalten (Russell), da sie nach dem Vorangehenden nichts als die in (β) genannte Menge ist.“

Hier wird also ansatzweise ein hierarchischer Mengenbegriff verwendet (ähnlich wie in der Typentheorie). Die Rechtfertigung seiner Vorgehensweise sieht Kamke darin, dass für „ernste unlösbare Widersprüche (…) irgendwelche Anzeichen“ nicht vorliegen.

Allerdings hat eine solche Einschränkung des Mengenbegriffs zur Folge, dass es nun durchaus „bestimmte wohlunterschiedene Objekte (…) unseres Denkens“ gibt, die sich auch begrifflich „zu einem Ganzen“ zusammenfassen lassen, ohne dass wir dieses Ganze als „Menge“ bezeichnen dürften. (Die Gesamtheit aller Mengen ist ein Beispiel, die Gesamtheit der Kardinalzahlen ein anderes). Das ist ganz gegen Cantors Intention.

Wenn solche „Un-Mengen“ mit einbezogen werden sollen, wird zuweilen der Begriff Klasse verwendet.

[Bearbeiten] Rückwirkungen auf die Mathematik als Wissenschaft

Cantors Konzept wurde von den Mathematikern des späten 19. Jahrhunderts keineswegs als revolutionär angesehen. Der Ruf der Logik als mathematischer Disziplin war schlecht. Verallgemeinerungen auf diesem Niveau galten als überflüssig und, als dabei gar noch Antinomien auftraten, als lästig. Poincaré spottete: „Die Logik ist gar nicht mehr steril – sie zeugt jetzt Widersprüche.“

Im Verlauf des ersten Drittels des 20. Jahrhunderts setzte sich dann, zunächst hauptsächlich bei jungen Mathematikern, die Ansicht durch, dass Mengenlehre eine entscheidend wichtige Grundlage für die Strukturierung der Mathematik sei. Paradoxerweise erfolgte diese Aufwertung parallel zu der Erkenntnis, dass die aufgetretenen Probleme grundsätzlicher Natur und prinzipiell unlösbar sind (Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Was von den Spezialisten als Grundlagenkrise der Mathematik begriffen wurde, wurde von der Mehrheit der Mathematik Schaffenden kaum beachtet.

Kennzeichnend für diese Auffassung ist das Unternehmen einer Gruppe von Mathematikern, die unter dem Pseudonym Bourbaki die gesamte Mathematik auf der Grundlage der Mengenlehre einheitlich neu darstellen wollte.

Die Entscheidung zwischen den möglichen Grundlegungen fiel pragmatisch aus: Zermelos typenfreies Axiomensystem schien damals leichter zu handhaben als Russells Typentheorie. Jenes wird heute ganz überwiegend als Grundlage der Mathematik betrachtet.

[Bearbeiten] Rückwirkungen auf die Schulmathematik

Gegen Ende der 1960er Jahre wurden Grundbegriffe der Mengenlehre in den Schulunterricht eingeführt. Unter dem Stichwort „Neue Mathematik“ fand, insbesondere in den Eingangsklassen der Grundschulen, eine grundlegende Veränderung des Rechenunterrichts statt, der von nun an als Mathematikunterricht aufgefasst wurde. Die zum Teil sicher überzogene Betonung des Mengenbegriffs wurde bald wieder zurückgenommen.

[Bearbeiten] Kategorientheorie

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

[Bearbeiten] Mengenlehre und Informatik

Als Grundlage der Informatik reicht die typenfreie Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel allein nicht aus, da sie hochgradig unkonstruktiv ist, also den Begriff des Algorithmus kaum erfasst. Aus diesem Grunde wurden seit den 1970er Jahren konstruktive Kalküle entwickelt, die Klassifizierungskonzepte wie Datentypen usw. beinhalten. Es wird behauptet, dass diese Theorien im Hinblick auf Universalität und Anwendungsbereich der klassischen Mengentheorie gleichkommen.

[Bearbeiten] Definitionen

[Bearbeiten] Gleichheit

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

$A=B \iff \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right)$

Tatsächlich muss eine Menge A aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform P(x) angegeben (mit einer Objektvariablen x, die eine wohlbestimmte Definitionsmenge D haben sollte), sodass x ∈ A genau dann gilt, wenn P(x) zutrifft. Dafür schreibt man dann:

$A = \{x \in D | \mathit{P}(x) \}$

Zu jeder Menge A gibt es viele verschiedene Aussageformen P(x), die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen P(x) und Q(x) dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind $\{x \in D | \mathit{P}(x) \}$ und $\{x \in D | \mathit{Q}(x) \}$ die gleiche Menge?“.

[Bearbeiten] Leere Menge

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit $\varnothing$ oder auch ${}$ bezeichnet. Aus der Extensionalität der Mengen folgt, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge enthält dieselben Elemente (nämlich keine), ist also gleich.

[Bearbeiten] Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

B wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von A genannt. Formal:

${A}\subseteq {B} :\Longleftrightarrow \forall x \left( {x} \in A \rightarrow x \in B \right)$ .

Echte Teilmenge: A ist echte Teilmenge von B (oder B ist echte Obermenge von A), wenn A Teilmenge von B ist, aber von B verschieden,

also jedes Element aus A auch Element von B ist, aber (mindestens) ein Element in B existiert, das nicht in A enthalten ist.

Die Relation „ist Teilmenge von“ bildet eine Halbordnung. Die Relation „echte Teilmenge“ ist eine strenge Halbordnung.

Es gibt zwei Notationen:

${A}\subseteq {B}$ für „Teilmenge“ und ${A}\subset {B}$ für „echte Teilmenge“ oder
${A}\subset {B}$ für „Teilmenge“ und $A \subsetneq B$ für „echte Teilmenge“.

In diesem Artikel wird das erstgenannte System verwendet, es sind jedoch beide weit verbreitet.

[Bearbeiten] Schnittmenge

Schnittmenge von A und B

Gegeben ist eine Menge U von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von U ist die Menge der Elemente, die in jedem Element von U enthalten sind. Formal:

$\bigcap U := \{x \mid \forall a\in U : x\in a\}$ .

Ist U eine Paarmenge, also $U\,=\{A,B\}$ , so schreibt man für $\bigcap U$ gewöhnlich

${A}\cap{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \and \left( x \in {B} \right) \}$

und liest dies: A geschnitten mit B (oder: Der Durchschnitt von A und B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen $A 1, A 2,..., A n$ verallgemeinern.

Eine ältere Bezeichnung hierfür ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch geschrieben

$A_1 \cdot A_2 \cdot ... \cdot A_n$ oder $\prod_{i=1}^n A_i$

Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen:

Die Elemente der Menge $U$ , die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit $A λ$ bezeichnet. Es wird eine „Indexmenge“ $Λ$ (Lambda) eingeführt, sodass $U = \{A_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}$ ist. Die Schnittmenge $\bigcap U$ wird dann geschrieben als:

$\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \forall\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$ ,

also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen $A λ$ enthalten sind.

[Bearbeiten] Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge von A und B

Dies ist der zu Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einem Element von U enthalten sind. Formal:

$\bigcup U := \{x \mid \exists a\in U : x\in a\}$ .

Für $U\,=\{A,B\}$ schreibt man wieder

${A}\cup{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \}$

und liest dies: A vereinigt mit B (oder: Die Vereinigung von A und B) ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht-ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Auch diese Schreibweise ist für die Vereinigung endlich vieler Mengen geeignet.

Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch Summe verwendet und dann geschrieben

A 1 + A 2 + ... + A n

oder $\sum_{i=1}^n A_i$ .

Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt.

Unter Verwendung der Indexmenge $Λ$ schreibt man:

$\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \exists\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$ .

[Bearbeiten] Differenz und Komplement

A ohne B

Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von A und B ist die Menge der Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind. Formal:

${A} \setminus {B} = \{ x \mid \left( x\in A \right) \and \left( x\not\in B \right) \}$

Ist B ⊆ A, So heißt die Differenz A\B auch Komplement von B in A. Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn A eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und

$\complement{B}:=\{ x \mid x \not\in B \}$

heißt einfach das Komplement von B.

Eine andere häufige Schreibweise für $\complement{B}$ ist $\overline B$ . Manchmal findet man auch $B C$ oder $B'$ .

Symmetrische Differenz

Die Menge

${A} \, \triangle \, {B} := \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) = ( A \cup B) \setminus (A \cap B)$

wird gelegentlich als symmetrische Differenz von A und B bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden der beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oders (XOR oder $\oplus$ ) kann man dafür auch schreiben:

${A} \, \triangle \, {B} := \{ x \mid \left( x\in A \right) \oplus \left( x\in B \right) \}$

[Bearbeiten] Kartesisches Produkt

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt, in älterer Terminologie auch Verbindungsmenge oder Produkt zweiter Art, soll hier ebenfalls zunächst als Verknüpfung von zwei Mengen definiert werden:

Die Produktmenge von A und B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist.

Die Elemente des kartesischen Produkts sind also keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte, nämlich geordnete Paare. Formal:

$A\times B := \{\left(a,b\right) \mid a\in A \and b\in B\}$

Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich der Begriff leicht für die Verknüpfung endlich vieler Mengen verallgemeinern:

$A_1\times A_2 \times ... \times A_n := \{\left(a_1,a_2,...,a_n\right) \mid a_1\in A_1 \and a_2\in A_2 \and ... \and a_n\in A_n\}$

Für die Produktmenge beliebig vieler Mengen, die durch die Indexmenge $Λ$ benannt werden, schreibt man $\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda$ oder, wenn diese Notation schon für „Produkte erster Art“ verwendet wird, ${}^\times\prod_{\lambda \in \Lambda}A_\lambda$ . Für die Definition einer solchen Produktmenge wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement λ ein Element der Menge A_λ zuordnen. Formal:

${}^{(\times)}\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda := \{f:\Lambda\to \bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda \mid \forall \lambda\in\Lambda : f\left(\lambda\right)\in A_\lambda\}$

Siehe hierzu den Artikel kartesisches Produkt.

[Bearbeiten] Potenzmenge

Die Potenzmenge $\mathcal{P} \left( {A} \right)$ von A ist die Menge aller Teilmengen von $A$ .

Die Potenzmenge von $A$ enthält immer die leere Menge und die Menge $A$ . Somit ist $\mathcal{P} \left( {\varnothing} \right)=\{ {\varnothing} \}$ , also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge ${a}$ ist $\mathcal{P} \left( \{{a}\} \right)=\{ {\varnothing}, \{{a} \} \}$ , enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Hat $A$ n Elemente, so hat $\mathcal{P} \left( {A} \right)$ die Elementanzahl 2ⁿ.

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. (Siehe dazu: Cantors zweites Diagonalargument.) Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden. Diese Fragen hängen eng zusammen mit der Problematik des Auswahlaxioms.

Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem – je nach Fortgang der mathematischen Forschung – immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können.

[Bearbeiten] Mächtigkeit und Kardinalzahl

Die Mächtigkeit (Kardinalität) einer Menge A wird mit |A| (zuweilen auch #A) bezeichnet. Bei endlichen Mengen bedeutet |A| die Anzahl der Elemente von A, also eine natürliche Zahl.

Der Menge $\mathbb{N}$ der natürlichen Zahlen lässt sich eine solche Zahl nicht zuordnen. Sie hat offenbar mehr Elemente als jede endliche Zahlenmenge; ihre Kardinalität wird gewöhnlich mit $\aleph_0$ bezeichnet.

Betrachtet man die Menge $\mathbb{N}$ und ihre Potenzmenge als aktual unendliche Mengen, so ergeben sich verschiedene Grade der Unendlichkeit, die als Kardinalzahlen bezeichnet werden. Die Gesamtheit der Kardinalzahlen erweist sich dann als zu groß, um noch als Menge begriffen zu werden.

Gleichwohl ist der Begriff Kardinalzahl eine Verallgemeinerung der Elementanzahl einer (endlichen) Menge. Die Mächtigkeit der Potenzmenge von A wird, auch bei unendlichen Mengen, mit 2^|A| bezeichnet.

Die Kardinalzahl der Potenzmenge von $\mathbb{N}$ , $2^{\aleph_0}$ , also die Kardinalzahl der reellen Zahlen, wird mit $c$ oder mit $\aleph$ bezeichnet. Die Frage, ob diese Zahl $\aleph_1$ (die nächstgrößere Kardinalzahl nach $\aleph_0$ ) ist, ist Gegenstand der Kontinuumshypothese

[Bearbeiten] Anmerkungen

Die Potenzmenge einer Menge $A$ wird mitunter auch mit $2 A$ bezeichnet. Diese Notation ist durch die Eigenschaft $|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$ einer endlichen Menge A motiviert, welche unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen dann auch für beliebige unendliche Mengen gilt.
$\in$ , $\subset$ und $\subseteq$ sind Relationen. Die Negation dieser Relationen kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch $\notin$ . Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von $x\in A$ auch $A\ni x$ , anstelle von $A\subseteq B$ auch $B\supseteq A$ und anstelle von $A\subset B$ auch $B\supset A$ geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.
Die leere Menge kann – wie jede andere Menge auch – Element einer Menge sein: Die beiden Mengen $\varnothing$ und $\{\varnothing\}$ sind verschieden.
Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge. Deshalb tritt sie als Element jeder Potenzmenge auf; jede Potenzmenge umfasst mindestens dieses eine Element.
Für eine endliche, nicht leere Indexmenge $\Lambda = \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}$ gilt $\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = A_{\lambda_1} \cap A_{\lambda_2} \cap \cdots \cap A_{\lambda_n}$ und $\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = A_{\lambda_1} \cup A_{\lambda_2} \cup \cdots \cup A_{\lambda_n}$ . Die Definitionen für den zweistelligen Fall und den Fall beliebig vieler Mengen sind also zueinander konsistent.
Es gilt $\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \bigcap\{A_\lambda \mid \lambda\in\Lambda\}$ und $\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \bigcup\{A_\lambda \mid \lambda\in\Lambda\}$ .
Für den leeren Schnitt liefert die Definition $\bigcap_{\lambda\in\varnothing} A_\lambda = \bigcap\varnothing = \mathbb{X}$ , für die leere Vereinigung $\bigcup_{\lambda\in\varnothing} A_\lambda = \bigcup\varnothing = \varnothing$ und für die leere Produktmenge $\prod_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda = \varnothing$
Die Mengen $\left(A_{\lambda_1}\times A_{\lambda_2}\right) \times A_{\lambda_3}$ und $A_{\lambda_1}\times \left( A_{\lambda_2} \times A_{\lambda_3} \right)$ sind nicht gleich, aber durch die Bijektion $((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))$ zueinander isomorph. In der Regel wird deshalb nicht zwischen diesen beiden Mengen unterschieden. Diese Assoziativität bis auf Isomorphie erlaubt es, beliebige Produktengen aus einer endlichen Anzahl $n$ von Mengen $A_{\lambda_i}: i\in\mathbb{N},1\leq i\leq n$ mit der Menge der n-Tupel zu identifizieren und ohne Rücksicht auf die konkrete Klammerung mit $A_{\lambda_1}\times A_{\lambda_2}\times \cdots \times A_{\lambda_n}$ zu bezeichnen.
Für das Mengenprodukt aus identischen Faktoren gibt es abkürzende Schreibweisen:
- Anstelle des n-fachen endlichen Mengenprodukts $A\times A\times\cdots\times A$ schreibt man auch $A n$ .
- Das unendliche Mengenprodukt $\prod_{\lambda\in\Lambda} A$ ist kanonisch isomorph zur Menge aller Abbildungen $\Lambda\rightarrow A$ . In Analogie zum endlichen Fall wird dafür die Schreibweise $A Λ$ benutzt.
Die Mengen $A_{\lambda_1}\times A_{\lambda_2}$ und $\prod_{\lambda\in\{\lambda_1,\lambda_2\}}A_\lambda$ sind nicht notwendig gleich, aber durch die Bijektion $(a,b)\mapsto f_{a,b}$ mit $f_{a,b}:\{\lambda_1, \lambda_2\}\to \mathbb{X}$ , $\lambda_1\mapsto a$ , $\lambda_2\mapsto b$ zueinander isomorph. Die Definition der zweistelligen Produktmenge ist also mit der Definition der Produktmenge beliebig vieler Mengen konsistent, weshalb für eine endliche nichtleere Produktmenge $\Lambda = \{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}$ in der Regel auch nicht zwischen $\prod_{\lambda\in \Lambda} A_\lambda$ und $A_{\lambda_1}\times A_{\lambda_2}\times \cdots \times A_{\lambda_n}$ unterschieden wird.

[Bearbeiten] Beispiele

Wir betrachten die Mengen $\mathbb{X} = \{1,2,3\}$ , $A = {1,2}$ und $B = {1,3}$ . Es gelten:

$2\in A$ , $2\notin B$
$A\subseteq\mathbb{X}$ , $B\subseteq\mathbb{X}$ , $\mathbb{X}\subseteq\mathbb{X}$
$A\subset\mathbb{X}$ , $B\subset\mathbb{X}$
$A\cap B = \{1\}$
$A\cup B = \mathbb{X}$
$\complement{A} = \{3\}$ , $\complement{B} = \{2\}$ , $\complement{\mathbb{X}}=\varnothing$ , $\complement{\varnothing}=\mathbb{X}$
$A\setminus B = \{2\}$ , $B\setminus A = \{3\}$ , $\mathbb{X}\setminus A = \{3\}$ , $A\setminus\mathbb{X} = \varnothing$
$A\triangle B = \{2,3\}$ , $A\triangle\mathbb{X} = \{3\}$ , $B\triangle\mathbb{X} = \{2\}$
$\left| \mathbb{X}\right|$ = 3, $\left| A\right|$ = 2, $\left|\varnothing\right|$ = 0, $\left|\{\varnothing\}\right|$ = 1
$\mathcal{P} \left(A\right) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
$\mathcal{P} \left(\mathbb{X}\right) = \{\varnothing, A\cap B, \complement B, B\setminus A, A, B, A\triangle B, A \cup B\}$
$A\times B = \{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$ , $A\times\{3\} = \{(1,3),(2,3)\}$ , $A 2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}$ , ${3} 3 = {(3,3,3)}$
$\varnothing\notin\varnothing$ , $\varnothing\in\{\varnothing\}$
$\mathcal{P} \left(\varnothing\right) = \{\varnothing\}$ , $\mathcal{P} \left(\{\varnothing\}\right) = \{\varnothing,\{\varnothing\}\}$
$A\times\varnothing = \varnothing\times A = \varnothing$
$\mathbb{N}^+\subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

[Bearbeiten] Gesetzmäßigkeiten

Die Menge $\mathcal{P}\left(\mathbb{X}\right)$ ist bezüglich der Relation $\subseteq$ partiell geordnet, denn für alle $A,B,C\subseteq\mathbb{X}$ gilt:

Reflexivität: $A\subseteq A$
Antisymmetrie: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ folgt $A = B$
Transitivität: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt $A\subseteq C$

Die Mengen-Operationen Schnitt $\cap$ und Vereinigung $\cup$ sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:

Kommutativgesetz: $A \cup B = B \cup A$ , $A \cap B = B \cap A$
Assoziativgesetz: $\left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right)$ , $\left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)$
Distributivgesetz: $A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)$ , $A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)$
De Morgansche Gesetze: $\complement( A \cup B) = \complement{A} \cap \complement{B}$ , $\complement{(A \cap B)} = \complement{A} \cup \complement{B}$

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Distributivgesetze: $(A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C)$ , $(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)$ , $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$ und $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$
Assoziativgesetze: $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$ und $A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C)$