Rekursive Aufzählbarkeit
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Die rekursive Aufzählbarkeit ist ein Begriff aus der Berechenbarkeitstheorie. Er gibt Aufschluss darüber, ob sich die Elemente einer vorgegebenen Menge schrittweise von einem Computer erzeugen lassen.
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[Bearbeiten] Definition
Eine Menge M heißt rekursiv aufzählbar, falls sie leer ist, oder es eine surjektive berechenbare Funktion 
gibt.
Die Klasse der rekursiv aufzählbaren Mengen wird in der Literatur meist mit RE bezeichnet.
[Bearbeiten] Äquivalenzen zur Definition
- A ist rekursiv aufzählbar
- A ist semi-entscheidbar
- A ist vom Typ 0.
- A ist die Menge aller Berechnungsergebnisse einer Turingmaschine
- χ'A, die halbe charakteristische Funktion, ist Turing-, WHILE- oder GOTO-berechenbar.
- A ist Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion
- A ist Wertebereich einer berechenbaren Funktion
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Jede endliche Menge ist rekursiv aufzählbar.
- Eine Menge ist genau dann rekursiv aufzählbar, wenn sie semi-entscheidbar ist.
- Jede rekursiv aufzählbare Menge ist abzählbar.
- Nicht alle abzählbaren Mengen sind rekursiv aufzählbar.
- Jede unendliche rekursiv aufzählbare Sprache besitzt Teilmengen, die nicht rekursiv aufzählbar sind.
- Genau dann, wenn eine Menge und ihr Komplement rekursiv aufzählbar sind, dann ist sie bereits rekursiv entscheidbar.
[Bearbeiten] Beispiele
- Die Menge der Paare der Form: (Programm, Eingabe) mit der Eigenschaft: das Programm hält mit der Eingabe ist rekursiv aufzählbar. (Siehe Halteproblem)
- Die Selbstanwendbarkeit ist rekursiv aufzählbar: In obigem Beispiel beschränken wir uns auf die Eingaben, die dem jeweiligen Programm entsprechen.
- Die Werte der Busy-Beaver-Funktion Σ(n) sind nicht rekursiv aufzählbar.
