Umtauschparadoxon
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Das Umtauschparadoxon (oder Briefumschlagparadoxon) beschreibt die paradoxe Situation, dass es bei Kenntnis des Wertverhältnisses zwischen zwei Alternativen und nachdem der Wert einer der Alternativen eröffnet worden ist, stets sinnvoll erscheint, vom angebotenen Umtauschrecht Gebrauch zu machen. Das Paradoxon hinterfragt das naive Rechnen mit Erwartungswerten. Es ist verwandt, aber nicht logisch identisch mit dem Ziegenproblem.
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[Bearbeiten] Das Paradoxon
Nehmen wir an, Herr Lemke ist ein Gönner von Herrn Schmidt. Die Sekretärin von Herrn Lemke hat zwei gleichaussehende Briefumschläge genommen, und in den einen einen Geldbetrag hineingetan. In den anderen Briefumschlag hat sie den doppelten Betrag hineingetan. Von außen sehen beide Briefumschläge völlig gleich aus. Am Abend treffen sich Herr Lemke und Herr Schmidt auf einer Party. Herr Lemke legt beide Briefumschläge auf einem Tisch ab. Andere Partygäste bringen die Briefumschläge durcheinander. Zur fortgeschrittenen Stunde – man hat schon etwas getrunken – ergreift Herr Lemke einen der beiden Briefumschläge und gibt ihn Herrn Schmidt mit den Worten: "In dem anderen, völlig gleich aussehendem Umschlag, der noch auf dem Tisch liegt, befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% der doppelte Geldbetrag und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% der halbe Geldbetrag. Sie dürfen diesen Umschlag öffnen und dann entscheiden, ob Sie die beiden Umschläge austauschen und den anderen nehmen möchten." Herr Schmidt öffnet den Umschlag, findet 100 Euro und überlegt: "Ich habe in diesem Umschlag 100 Euro. Wenn ich tausche, habe ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% 200 Euro und mit der selben Wahrscheinlichkeit 50 Euro. Dies macht einen Erwartungswert von 125 Euro."
- 125 EUR = 0.5 · 50 + 0.5 · 200
Lohnt sich das Tauschen?
[Bearbeiten] Was ist paradox daran?
Das Paradoxe an der Situation ist, dass es genau so sinnvoll scheint zu wechseln, wenn zunächst der andere Umschlag geöffnet worden wäre. In Wirklichkeit wäre der Wechsel immer dann sinnvoll, wenn man die schlechtere Alternative gewählt hat – es ist aber unbekannt, ob das der Fall ist oder nicht.
[Bearbeiten] Die Lösung
Es liegt hier ein falsches Rechnen mit Erwartungswerten vor. Der Trugschluss liegt darin, dass nicht für jeden beliebigen Geldbetrag „mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % der doppelte Geldbetrag und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % der halbe Geldbetrag“ im anderen Umschlag sein kann. Das setzte nämlich eine Gleichverteilung auf der Menge der natürlichen Zahlen voraus, die es aber nicht geben kann. Vereinfacht gesprochen ist es so, dass je größer der Betrag im Umschlag ist, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit, dass im anderen Umschlag ein noch größerer Betrag ist; tauschen bringt dann also keinen Gewinn oder wird sogar zum Verlust.
Für eine exakte Berechnung benötigt man die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung des Geldbetrags im anderen Umschlag, wenn man den Betrag in einem Umschlag kennt. Bezeichnet man mit
- Sn das Ereignis, dass die Sekretärin von Herrn Lemke n Euro in den einen und 2n Euro in den anderen Umschlag steckt, mit
- pn = P(Sn) die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, mit
- Bn das Ereignis, dass Herr Schmidt n Euro im Briefumschlag findet, und mit
- An das Ereignis, dass Herr Schmidt n Euro im anderen Briefumschlag findet,
so gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schmidt n Euro im Briefumschlag findet
,
für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schmidt den doppelten Betrag im anderen Briefumschlag findet
,
und für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schmidt den halben Betrag im anderen Briefumschlag findet
.
Der Trugschluss von Herrn Schmidt besteht also darin, dass er annimmt, pn = pn / 2 für alle n; eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt es aber nicht auf den natürlichen Zahlen.
Berechnet man den Erwartungswert mit den korrekten Wahrscheinlichkeiten, so erhält man
,
Tauschen zahlt sich aus, wenn E > n; das ist genau dann der Fall wenn 
. Verteilungen, die diese Bedingung für alle 
erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, haben dann aber Erwartungswert unendlich, sodass die Argumentation mit dem Erwartungswert auch in diesem Fall nicht zulässig ist. Darüber hinaus kann man wohl davon ausgehen, dass Hr. Lemke nicht unendlich viel Geld zur Verfügung hat.
[Bearbeiten] Beispiel
Wenn man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung annimmt, mit der die Sekretärin von Herrn Lemke das Geld in die Briefumschläge verteilt, lässt sich die Geschichte sehr gut simulieren. Beispielsweise sei angenommen, die Sekretärin bestimmt den Betrag mit einem fairen Würfel. Zeigt der Würfel k Augen, so steckt sie 
Euro in den einen und 
Euro in den anderen Umschlag. Herr Schmidt findet dann mit Wahrscheinlichkeit 
den Betrag 25 Euro im Umschlag, mit Wahrscheinlichkeit je 
einen der Beträge 50, 100, 200, 400 oder 800 Euro, und wieder mit Wahrscheinlichkeit den Betrag 1600 Euro. Tauscht er nicht, so beträgt der Erwartungswert des Geldgeschenkes also
Euro.
Tauscht Herr Schmidt in jedem Fall, so ändert sich sein Erwartungswert nicht, da er insbesondere auch den Betrag von 1600 Euro tauscht, obwohl er in diesem Fall nichts gewinnen kann. Vermutet Herr Schmidt aber, dass wohl kaum mehr als 1000 Euro im Umschlag sind, und entscheidet sich daher, dann und nur zu tauschen, wenn höchstens 500 Euro im Umschlag sind, so ändern sich die Wahrscheinlickheiten: Nach dem Tausch hat Herr Schmidt dann weiterhin mit Wahrscheinlichkeit den Betrag 25 Euro im Umschlag, ebenso mit Wahrscheinlichkeit je einen der Beträge 50, 100, oder 200 Euro, den Betrag von 400 Euro allerdings nur mehr mit Wahrscheinlichkeit (da Herr Schmidt bei 800 Euro nicht mehr tauscht), dafür aber mit Wahrscheinlichkeit 
den Betrag von 800 Euro, und wieder mit Wahrscheinlichkeit den Betrag 1600 Euro. Der Erwartungswert des Geldgeschenkes ist nun also
Euro.
Schätzt Herr Schmidt die Situation besser ein und beschließt, erst ab 1000 Euro aufs Tauschen zu verzichten, kann er den Erwartungswert sogar auf 460,62 Euro erhöhen; wird er aber zu gierig und tauscht beispielsweise erst ab 2000 Euro, so fällt er wieder auf den Ausgangswert 393,75 Euro zurück.
Für Herrn Schmidt ist es natürlich schwierig, die Sekretärin von Herrn Lemke richtig einzuschätzen; wesentlich ist aber, dass das Paradoxon verschwindet, sobald man irgendeine konkrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Verhalten der Sekretärin von Herrn Lemke annimmt. Je nach Tauschstrategie von Herrn Schmidt ändert sich der Erwartungswert des Geldgeschenks; die Strategie "Tausche immer" ist aber gleich gut (oder schlecht) wie die Strategie "Tausche nie".
[Bearbeiten] Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels
Eine allgemeine Gewinnstrategie für Herrn Schmidt besteht darin, dass er, bevor er den Umschlag öffnet, eine Zufallszahl Z wählt, die alle Werte zwischen 0 und unendlich annehmen kann, deren Verteilung aber ansonsten beliebig ist. Dann öffnet er den Umschlag und findet den Betrag n. Ist der gefundene Betrag n kleiner als Z, so tauscht er den Umschlag; ist der Betrag n größer als Z, so behält er den Umschlag. Wie im Artikel Zwei-Zettel-Spiel erklärt, erhöht er dadurch seine Chancen, den größeren Betrag zu erhalten.
[Bearbeiten] Die diskrete und endliche Natur des Geldes
Findet man in einem Umschlag einen Betrag, der in Cent (oder der jeweiligen kleinsten Geldeinheit) eine ungerade Anzahl bedeutet, dann kann sich im anderen Umschlag nicht exakt die Hälfte befinden. In all diesen Fällen lohnt sich das Tauschen immer. (Die Mathematik nennt Zahlen, die nicht nach Belieben teilbar sind, diskret.)
Andererseits ist Geld auch endlich. Deswegen lohnt sich Tauschen sicher nicht, wenn sich im einen Umschlag ein Betrag befindet, der so groß ist, dass der Spender ihn unmöglich verdoppeln kann. Dann hat man offenbar bereits den größeren Betrag in der Hand.
[Bearbeiten] Siehe auch
Verwandte Themen, bei denen man aus Teilinformation die optimale Entscheidung des Restproblems treffen kann:
