Θεωρία του χάους
Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στα μαθηματικά και τη φυσική, η Θεωρία του Χάους μελετά τη συμπεριφορά ορισμένων μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων, τα οποία κάτω από ορισμένες συνθήκες παρουσιάζουν το φαινόμενο που είναι γνωστό ως χάος. Χαρακτηρίζεται κυρίως από ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες (γνωστή και ως φαινόμενο της πεταλούδας) και ακολούθως από μη περιοδικότητα. Η ευαισθησία αυτή έχει ως αποτέλεσμα την φαινομενική τυχαιότητα της παρατηρούμενης συμπεριφοράς των συστημάτων, παρ’ όλο που τα συστήματα αυτά είναι αιτιοκρατικά ("ντετερμινιστικά"), με την έννοια ότι είναι καλώς ορισμένοι οι νόμοι εξέλιξής τους και δεν περιέχουν τυχαίες παραμέτρους. Στα συστήματα αυτού του είδους περιλαμβάνονται η ατμόσφαιρα, το ηλιακό σύστημα, οι τεκτονικές πλάκες, τα οικονομικά συστήματα και η εξέλιξη (μεταβολή) των πληθυσμών.
Τα συστήματα που παρουσιάζουν μαθηματικό χάος είναι ντετερμινιστικά (προσδιοριστικά) και επομένως εύτακτα υπό μια έννοια. Αυτή η τεχνική χρήση του όρου "χάος" διαφωνεί με την καθομιλουμένη, στην οποία το χάος υποδηλώνει την παντελή έλλειψη τάξης. Όταν λέγεται ότι η θεωρία του χάους μελετά ντετερμινιστικά συστήματα, είναι απαραίτητο να αναφέρεται και το συγγενές πεδίο της φυσικής που λέγεται Κβαντική θεωρία του Χάους και μελετά μη προσδιοριστικά συστήματα σύμφωνα με τους νόμους της Κβαντομηχανικής.
Πίνακας περιεχομένων |
[Επεξεργασία] Περιγραφή της θεωρίας
Ένα μη γραμμικό δυναμικό σύστημα μπορεί, σε γενικές γραμμές, να παρουσιάζει μια ή περισσότερες από τις παρακάτω συμπεριφορές:
- να καταλήγει σε ηρεμία (ακινησία)
- να επεκτείνεται συνεχώς (μόνο για μη φραγμένα συστήματα) - η συμπεριφορά αυτή περιγράφεται μερικές φορές ως "έκρηξη"
- να εκτελεί περιοδική κίνηση
- να εκτελεί ημι-περιοδική κίνηση
- να εκτελεί χαοτική κίνηση
Η συμπεριφορά που ένα σύστημα μπορεί να παρουσιάσει εξαρτάται από την αρχική του κατάσταση και τις τιμές των παραμέτρων, αν υπάρχουν. Η πιο δύσκολη στην παρατήρηση και πρόβλεψη είναι η χαοτική κίνηση, μια σύνθετη, μη περιοδική κίνηση, που έχει δώσει και το όνομά της στη θεωρία.
[Επεξεργασία] Χαοτική κίνηση
Δεν υπάρχει γενικώς αποδεκτός ορισμός της χαοτικής κίνησης. Ο πιο διαδεδομένος είναι αυτός του Devaney, που διατυπώνεται ως εξής:
Για να χαρακτηριστεί η συμπεριφορά ενός συστήματος ως χαοτική, το σύστημα πρέπει να παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:
- πρέπει να είναι παρουσιάζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες
- πρέπει να είναι τοπολογικά μεταβατικό
- οι περιοδικές του τροχιές πρέπει να είναι πυκνές
Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες σημαίνει ότι δύο σημεία σε ένα τέτοιο σύστημα μπορούν να ακολουθήσουν ριζικά διαφορετικές τροχιές στον φασικό χώρο, ακόμα και αν η διαφορά στις αρχικές συνθήκες είναι εξαιρετικά μικρή. Τα συστήματα συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο μόνο όταν η αρχική διαμόρφωση είναι ακριβώς η ίδια. Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι χρειάζεται κανείς να προσδιορίσει τις αρχικές συνθήκες με απεριόριστη ακρίβεια, προκειμένου να προβλέψει πώς θα συμπεριφερθεί το σύστημα πέρα από έναν περιορισμένο "χρονικό ορίζοντα". Στην πράξη, βέβαια, μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αρχικές συνθήκες με περιορισμένη μόνο ακρίβεια.
Μεταβατικότητα σημαίνει ότι εάν επιφέρουμε μια μετατροπή σε κάποιο διάστημα Ι1, τότε το διάστημα εκτείνεται μέχρι να επικαλύψει οποιοδήποτε άλλο δεδομένο διάστημα Ι2.
Η μεταβατικότητα, τα πυκνά περιοδικά σημεία και η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες μπορούν να επεκταθούν σε έναν αυθαίρετο μερτικό χώρο. Ο J. Banks και οι συνεργάτες του έδειξαν το 1992 ότι στα πλαίσια ενός γενικού μετρικού χώρου, η μεταβατικότητα και τα πυκνά περιοδικά σημεία υπονοούν την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες [1].
[Επεξεργασία] Ελκυστές
Ένας τρόπος να παρουσιάσουμε οπτικά την χαοτική κίνηση ή οποιαδήποτε άλλη κίνηση, είναι η κατασκευή ενός διαγράμματος φάσης της κίνησης. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα υπεισέρχεται σιωπηρά ο χρόνος και σε κάθε άξονα αναπαρίσταται μια μεταβλητή της κατάστασης. Για παράδειγμα, θα μπορούσε κάποιος να αναπαραστήσει την θέση ενός εκκρεμούς σε σχέση με την ταχύτητά του. Ένα εκκρεμές σε ακινησία θα σχεδιαστεί ως ένα σημείο και ένα σε περιοδική κίνηση θα σχεδιαστεί ως απλή κλειστή καμπύλη. Όταν ένα τέτοιο σχέδιο σχηματίζει κλειστή καμπύλη, η καμπύλη λέγεται τροχιά. Το εκκρεμές μπορεί να παρουσιάσει άπειρες τέτοιες τροχιές.
Συχνά τα διαγράμματα φάσης αποκαλύπτουν ότι η πλειοψηφία των τροχιών καταλήγουν να πλησιάζουν ένα κοινό όριο. Το σύστημα τελικά εκτελεί την ίδια κίνηση για όλες τις αρχικές καταστάσεις σε μια περιοχή γύρω από την κίνηση, σχεδόν σαν να έλκεται το σύστημα σε αυτή την κίνηση. Μια τέτοια ελκυστική κίνηση καλείται ελκυστής του συστήματος.
[Επεξεργασία] Βιβλιογραφία
- Ian Stewart, Παίζει ο Θεός ζάρια; Η επιστήμη του Χάους, Εκδ. Τραυλός, 1998
- James Gleick, Χάος: μια νέα επιστήμη, Εκδ. Κάτοπτρο, 1990
- David Ruelle, Τύχη και Χάος, Εκδ. Τραυλός, 1994
- ON DEVANEY’S DEFINITION OF CHAOS, J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis and P. Stacey (pdf)
