Vikipedio:Projekto matematiko/Ena algebro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Ena algebro (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En abstrakta algebro, ena algebro estas algebra strukturo de la signumo

<A, ·, +, ', 0, 1, ^Mi>

kie

<A, ·, +, ', 0, 1>

estas Bulea algebro kaj ^Mi estas unuloka operatoro, la ena operatoro, (veriganta, kontentiganta) la identoj:

1. x^Mi ≤ x
2. x^II = x^Mi
3. (_xy_)^Mi = x^Miy^Mi
4. 1^Mi = 1

x^Mi estas (nomita, vokis) la eno de x. Enaj algebroj ludi la sama rolo por la modala logiko _S4_ (tiu, ke, kiu) Buleaj algebroj ludi por ordinara propona logiko kaj povas esti estimita kiel (diversaj, diversaĵo) de modala (algebroj, algebras). Ili ankaŭ ludi la sama rolo por topologio (tiu, ke, kiu) Buleaj algebroj ludi por aroteorio.

La duala de la ena operatoro estas la fermaĵa operatoro ^C difinis per x^C = x ' ^Mi '. Per la principo de duvarianteco, la fermaĵa operatoro (verigas, kontentigas) la identoj:

1. x^C ≥ x
2. x^Cc = x^C
3. (x + y)^C = x^C + y^C
4. 0^C = 0

x^C estas (nomita, vokis) la (fermaĵo, adheraĵo) de x. La ena operatoro estas riparebla de la fermaĵa operatoro tra la idento x^Mi = x ' ^C '. Tial la teorio de enaj algebroj (majo, povas) esti formulita uzanta la fermaĵa operatoro anstataŭ la ena operatoro. En ĉi tiu formulaĵo unu konsideras algebraj strukturoj de la (formo, formi)

<A, ·, +, ', 0, 1, ^C>

(nomita, vokis) (fermaĵo, adheraĵo) (algebroj, algebras) kie

<A, ·, +, ', 0, 1>

estas Bulea algebro kaj ^C (verigas, kontentigas) la propraĵoj de fermaĵa operatoro listis pli supre. Per la principo de duvarianteco, (fermaĵo, adheraĵo) (algebroj, algebras) estas tute ekvivalento al enaj algebroj. (La fermaĵa operatora formulaĵo estis uzita en la frua literaturo sur la subjekto, sed la ena operatora formulaĵo iĝis la normo en poste literaturo.)

Enhavo 1 (Malfermi, Malfermita) kaj (fermita, fermis) eroj 2 Strukturkonservantaj transformoj de enaj algebroj 2.1 (Homomorfioj, Homomorfias) 2.2 _Topomorphisms_ 3 Interrilatoj al aliaj areoj de matematiko 3.1 Topologio 3.1.1 Ĝeneraligita topologio 3.1.2 Najbaraĵaj funkcioj kaj najbaraĵo (kradoj, kradas, latisoj, latisas) 3.2 Modala logiko 3.3 (Antaŭordigoj, Antaŭordigas) 3.4 Unulokaj Buleaj algebroj 3.5 _Heyting_ (algebroj, algebras) 3.6 Derivaĵo (algebroj, algebras) 4 Referencoj

[redaktu] (Malfermi, Malfermita) kaj (fermita, fermis) eroj

Eroj de ena algebro (veriganta, kontentiganta) la kondiĉo x^Mi = x estas (nomita, vokis) (malfermi, malfermita). La (komplementoj, komplementas) de (malfermi, malfermita) eroj estas (nomita, vokis) (fermita, fermis) kaj estas karakterizita per la kondiĉo x^C = x. Eno de ero estas ĉiam (malfermi, malfermita) kaj la (fermaĵo, adheraĵo) de ero estas ĉiam (fermita, fermis). (Internoj, Internas, Malfermaĵoj, Malfermaĵas, Enoj, Enas) de (fermita, fermis) eroj estas (nomita, vokis) regula (malfermi, malfermita) kaj (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas) de (malfermi, malfermita) eroj estas (nomita, vokis) regula (fermita, fermis). Eroj kiu estas ambaŭ (malfermi, malfermita) kaj (fermita, fermis) estas (nomita, vokis) _clopen_. 0 kaj 1 estas _clopen_.

Ena algebro estas (nomita, vokis) Bulea se ĉiuj ĝiaj eroj estas (malfermi, malfermita) (kaj de ĉi tie _clopen_). Buleaj enaj algebroj povas esti (identigita, identigita) kun ordinaraj Buleaj algebroj kiel ilia eno kaj fermaĵaj operatoroj provizi ne signfa aldona strukturo. Speciala okazo estas la klaso de bagatela enaj algebroj kiu estas la solaj eraj enaj algebroj karakterizis per la idento 0 = 1.

[redaktu] Strukturkonservantaj transformoj de enaj algebroj

[redaktu] (Homomorfioj, Homomorfias)

Ekde enaj algebroj estas algebraj strukturoj ni povas paroli de ena algebro (homomorfioj, homomorfias). Donita du enaj algebroj A kaj B, mapo f : A → B estas ena algebra homomorfio se kaj nur se ĝi estas homomorfio inter la subaj Buleaj algebroj de A kaj B kaj aldone konfitas (internoj, internas, malfermaĵoj, malfermaĵas, enoj, enas) (kaj de ĉi tie ekvivalente, konfitas (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas)) kio estas

1. f(x^Mi) = f(x)^Mi
2. f(x^C) = f(x)^C

[redaktu] _Topomorphisms_

Alia grava, kaj pli ĝenerala, klaso de strukturkonservantaj transformoj inter enaj algebroj estas la _topomorphisms_. Mapo f : A → B estas _topomorphism_ se kaj nur se ĝi estas homomorfio inter la subaj Buleaj algebroj de A kaj B kaj aldone konfitas (malfermi, malfermita) eroj (kaj de ĉi tie ekvivalente, konfitas (fermita, fermis) eroj) kio estas

1. se x estas (malfermi, malfermita) en A, tiam f(x) estas (malfermi, malfermita) en B.
2. se x estas (fermita, fermis) en A, tiam f(x) estas (fermita, fermis) en B.

Ĉiu ena algebra homomorfio estas _topomorphism_ sed ne ĉiu _topomorphism_ estas ena algebra homomorfio.

[redaktu] Interrilatoj al aliaj areoj de matematiko

[redaktu] Topologio

Donita topologia spaco X = <X, T> unu povas (formo, formi) la aro de ĉiu subara Bulea algebro de X

<P(X), ∩, ∪, ', ø, X>

kaj etendi ĝi al ena algebro

A(X) = <P(X), ∩, ∪, ', ø, X, ^Mi>

kie ^Mi estas la kutima topologia ena operatoro difinis per

S ^Mi = { O ∈ T : O ⊆ S } por ĉiuj S ⊆ X

La (korespondanta, respektiva) fermaĵa operatoro estas donita per

S ^C = { C : S ⊆ C kaj C estas (fermita, fermis) en X } por ĉiuj S ⊆ X

S ^Mi estas la plej granda (malfermi, malfermita) subaro de S kaj S ^C estas la (plej minuskla, plej malgranda) (fermita, fermis) superaro de S en X. La (malfermi, malfermita), (fermita, fermis), regula (malfermi, malfermita), regula (fermita, fermis) kaj _clopen_ eroj de la ena algebro A(X) estas (justa, ĵus) la (malfermi, malfermita), (fermita, fermis), regula (malfermi, malfermita), regula (fermita, fermis) kaj _clopen_ (subaroj, subaras) de X respektive en la kutima topologia (senso, senco).

Ĉiu plenumi atoma ena algebro estas izomorfia al ena algebro de la (formo, formi) A(X) por iu topologia spaco X. Ankaŭ ĉiu ena algebro povas esti enigita en tia ena algebra donanta prezento de ena algebro kiel topologia kampo de aroj. La propraĵoj de la strukturo A(X) estas la tre motivado por la difino de enaj algebroj. Pro ĉi tiu intima ligo kun topologio, enaj algebroj havi ankaŭ estas (nomita, vokis) _topo_-Buleaj algebroj aŭ topologiaj Buleaj algebroj.

Donita kontinua mapo inter du topologiaj spacoj

f : X &_rarr_; Y

ni povas difini plenumi _topomorphism_

A(f) : A(Y) &_rarr_; A(X)

per

A(f)(S) = f ^-1[S]

por ĉiuj (subaroj, subaras) S de Y. Ĉiu plenumi _topomorphism_ inter du plenumi atomaj enaj algebroj povas esti derivita en tiamaniere. Se Supro estas la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinua (mapoj, mapas) kaj _Cit_ estas la kategorio de plenumi atomaj enaj algebroj kaj plenumi _topomorphisms_ tiam Supro kaj _Cit_ estas duale izomorfia kaj A : Supro &_rarr_; _Cit_ estas kontraŭvarianca _functor_ tio estas duala izomorfio de kategorioj. A(f) estas homomorfio se kaj nur se f estas kontinua malfermita surĵeto.

Sub ĉi tiu duala izomorfio de kategoriaj multaj naturaj topologiaj propraĵoj esti konforma laŭ algebraj propraĵoj, en apartaj konektecaj propraĵoj esti konforma laŭ neredukteblecaj propraĵoj:

• X estas malplena se kaj nur se A(X) estas bagatela
• X estas _indiscrete_ se kaj nur se A(X) estas simpla
• X estas diskreta se kaj nur se A(X) estas Bulea
• X estas preskaŭ diskreta se kaj nur se A(X) estas duonsimpla
• X estas finie generita (Aleksandrov) se kaj nur se A(X) estas operatoro plenumi kio estas ĝia eno kaj fermaĵaj operatoroj distribui super ajna verigas kaj (aniĝas, aligas, aliĝas) respektive
• X estas koneksa se kaj nur se A(X) estas rekte nemalmuntebla
• X estas _ultra_-koneksa se kaj nur se A(X) estas finie _subdirectly_ nereduktebla
• X estas kompakta _ultra_-koneksa se kaj nur se A(X) estas _subdirectly_ nereduktebla

[redaktu] Ĝeneraligita topologio

La moderna formulaĵo de topologiaj spacoj en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (topologioj, topologias) de (malfermi, malfermita) (subaroj, subaras), motivigas alternativa formulaĵo de enaj algebroj: A ĝeneraligis topologia spaco estas algebra strukturo de la (formo, formi)

<B, ·, +, ', 0, 1, T>

kie

<B, ·, +, ', 0, 1>

estas Bulea algebro kaj T estas unuloka rilato sur B (subaro de B) tia (tiu, ke, kiu)

1. 0,1 &_isin_; T
2. T estas (fermita, fermis) sub ajna (aniĝas, aligas, aliĝas) (kio estas se (aniĝi, aligi, aliĝi) de ajna subaro de T ekzistas tiam ĝi estos furori T)
3. T estas (fermita, fermis) sub finia verigas
4. Por ĉiu ero b de B, la (aniĝi, aligi, aliĝi) ∑{a &_isin_;T : a &_le_; b} ekzistas

T estas dirita al esti ĝeneraligita topologio en la Bulea algebro.

Donita ena algebro ĝia (malfermi, malfermita) eroj (formo, formi) ĝeneraligita topologio. Male donita ĝeneraligis topologia spaco

<B, ·, +, ', 0, 1, T>

ni povas difini ena operatoro sur B per b ^Mi = ∑{a &_isin_;T : a &_le_; b} per tia produktanta ena algebro kies (malfermi, malfermita) eroj estas precize T. Tial ĝeneraligis topologiaj spacoj estas ekvivalento al enaj algebroj.

Konsiderantaj enaj algebroj al esti ĝeneraligitaj topologiaj spacoj, _topomorphisms_ estas tiam la normo (homomorfioj, homomorfias) de Buleaj algebroj kun adiciis unuloka rilato kaj normaj rezultoj de universala algebro turni sin al ilin.

[redaktu] Najbaraĵaj funkcioj kaj najbaraĵo (kradoj, kradas, latisoj, latisas)

La topologia koncepto de najbaraĵoj povas esti ĝeneraligita al enaj algebroj: An ero y de ena algebro estas dirita al esti najbaraĵo de ero x se x &_le_; y ^Mi. La aro de najbaraĵoj de x estas signifita per N(x) kaj (formoj, formas) filtrilo. Ĉi tiu (plumboj, plumbas, kondukas) al alia formulaĵo de enaj algebroj:

najbaraĵa funkcio sur Bulea algebro estas surĵeto N de ĝia suba aro B al ĝia aro de (filtriloj, filtras), tia (tiu, ke, kiu):

1. Por ĉiuj x &_isin_; B, (maks, maksimuma) { y &_isin_; B : x &_isin_; N(y) } ekzistas
2. Por ĉiuj x,y &_isin_; B, x &_isin_; N(y) se kaj nur se estas z &_isin_; B tia (tiu, ke, kiu) y &_le_; z &_le_; x kaj z &_isin_; N(z).

La surĵeto N de eroj de ena algebro al ilia (filtriloj, filtras) de najbaraĵoj estas najbaraĵa funkcio sur la suba Bulea algebro de la ena algebro. Ankaŭ, donita najbaraĵa funkcio N sur Bulea algebro kun suba aro B, ni povas difini ena operatoro per x^Mi = (maks, maksimuma) { y &_isin_; B : x &_isin_; N(y) } per tia ricevanta ena algebro. N(x) estos tiam esti precize la filtrilo de najbaraĵoj de x en ĉi tiu ena algebro. Tial enaj algebroj estas ekvivalento al Buleaj algebroj kun precizigis najbaraĵaj funkcioj.

En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de najbaraĵaj funkcioj, la (malfermi, malfermita) eroj estas precize tiuj eroj x tia (tiu, ke, kiu) x &_isin_; N(x). En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de (malfermi, malfermita) eroj x &_isin_; N(y) se kaj nur se estas (malfermi, malfermita) ero z tia (tiu, ke, kiu) y &_le_; z &_le_; x.

Najbaraĵaj funkcioj (majo, povas) esti difinita pli ĝenerale sur (verigi)-(duonkradoj, duonkradas) produktanta la (strukturoj, strukturas) sciata kiel najbaraĵo (duone)(kradoj, kradas, latisoj, latisas). Enaj algebroj (majo, povas) tial esti vidita kiel precize la Bulea najbaraĵo (kradoj, kradas, latisoj, latisas) kio estas tiu najbaraĵo (kradoj, kradas, latisoj, latisas) kies suba duonkrado (formoj, formas) Bulea algebro.

[redaktu] Modala logiko

Donita teorio (aro de formala kondamnas) M en la modala logiko _S4_, ni povas (formo, formi) ĝia _Lindenbaum_-Tarski-a algebro

L(M) = <M / ~, ∧, ∨, ¬, F, T, □>

kie ~ estas la ekvivalentrilato sur kondamnas en M donita per p ~ q se kaj nur se p kaj q estas logike ekvivalento en M, kaj M / ~ estas la aro de (ekvivalento-klasoj, ekvivalentklasoj) sub ĉi tiu rilato. Tiam L(M) estas ena algebro. La ena operatoro en ĉi tiu (kesto, okazo) korespondas al la modala operatoro □ (bezone) dum la fermaĵa operatoro korespondas al ◊ (eble). Ĉi tiu konstruado estas speciala okazo de pli ĝenerala rezulto por modala (algebroj, algebras) kaj modala logiko.

La (malfermi, malfermita) eroj de L(M) esti konforma laŭ kondamnas (tiu, ke, kiu) estas nur vera se ili estas bezone vera dum la (fermita, fermis) eroj esti konforma laŭ tiuj (tiu, ke, kiu) estas nur malvera se ili estas bezone malvera.

Pro ilia interrilato al la modala logiko _S4_, enaj algebroj havi ankaŭ estas (nomita, vokis) _S4_ (algebroj, algebras) aŭ Lewis (algebroj, algebras) (post la logikisto C. Mi. Lewita kiu (klasifikis, klasigita) la modalaj logikoj _S1_ - _S5_).

[redaktu] (Antaŭordigoj, Antaŭordigas)

Ekde enaj algebroj estas (normala) Buleaj algebroj kun (operatoroj, operatoras) ili povas esti (prezentita, prezentis) per kampoj de aroj sur adekvata rilata (strukturoj, strukturas). En aparta ekde ili estas modala (algebroj, algebras) ili povas esti (prezentita, prezentis) kiel kampoj de aroj sur aro kun sola duargumenta rilato, (nomita, vokis) modala kadro en ĉi tiu ĉirkaŭteksto. La modala (enkadrigas, kadroj, kadras) (korespondanta, respektiva) al enaj algebroj estas precize la antaŭordigis aroj. Antaŭordigitaj aroj (ankaŭ (nomita, vokis) _S4_-(enkadrigas, kadroj, kadras)) provizi la _Kripke_ (semantiko, semantikoj, semantikas) de la modala logiko _S4_ kaj la ligo inter enaj algebroj kaj (antaŭordigoj, antaŭordigas) estas profunde rilatanta al ilia ligo kun modala logiko.

Donita antaŭordigis aro X = <X, « > ni povas konstrui ena algebro

B(X) = <P(X), ∩, ∪, ', ø, X, ^Mi>

de la aro de ĉiu subara Bulea algebro de X kie la ena operatoro ^Mi estas donita per

S ^Mi = { x ∈ X : por ĉiuj y ∈ X, x « y (implicas, enhavas) y ∈ S } por ĉiuj S ⊆ X.

La (korespondanta, respektiva) fermaĵa operatoro estas donita per

S ^C = { x ∈ X : tie ekzistas y ∈ S kun x « y } por ĉiuj S ⊆ X.

S ^Mi estas la aro de ĉiuj (mondoj, mondas) nealirebla de (mondoj, mondas) ekster S, kaj S ^C estas la aro de ĉiuj (mondoj, mondas) alirebla de iu mondo en S. Ĉiu ena algebro povas esti enigita en ena algebro de la (formo, formi) B(X) por iu antaŭordigis aro X donanta la pli supre menciita prezento kiel kampo de aroj ((antaŭordigo, antaŭordigi) kampo).

Ĉi tiu konstruado kaj prezenta teoremo estas speciala okazo de la pli ĝenerala rezulto por modala (algebroj, algebras) kaj modala (enkadrigas, kadroj, kadras). La (kesto, okazo) por enaj algebroj estas aparte (interezanta, interesanta) pro ilia ligo al topologio. La konstruado provizas la antaŭordigis aro X kun topologio (la Aleksandrov-a topologio) produktanta topologia spaco T(X) kun malfermitaj aroj donita per

{ O ⊆ X : por ĉiuj x ∈ O kaj ĉiuj y ∈ X, x « y (implicas, enhavas) y ∈ O }

kaj (korespondanta, respektiva) fermitaj aroj donita per

{ C ⊆ X : por ĉiuj x ∈ C kaj ĉiuj y ∈ X, y « x (implicas, enhavas) y ∈ C }.

En alia (vortoj, vortas) la malfermitaj aroj estas la aĵoj kies (mondoj, mondas) estas nealirebla de ekster (la supren-aroj) kaj la fermitaj aroj estas la aĵoj por kiu ĉiu ekster mondo estas nealirebla de ene (la suben-aroj). Ankaŭ B(X) = A(T(X)).

[redaktu] Unulokaj Buleaj algebroj

(Ĉiu, Iu) unuloka Bulea algebro povas esti konsiderata al esti ena algebro kie la ena operatoro estas la universala kvantoro kaj la fermaĵa operatoro estas la ekzistokvantoro. La unulokaj Buleaj algebroj estas tiam precize la (diversaj, diversaĵo) de enaj algebroj (veriganta, kontentiganta) la idento x^{Komandonombrilo} = x^Mi. En alia (vortoj, vortas) ili estas precize la enaj algebroj en kiu ĉiu (malfermi, malfermita) ero estas (fermita, fermis) aŭ ekvivalente, en kiu ĉiu (fermita, fermis) ero estas (malfermi, malfermita). Ankaŭ, tiaj enaj algebroj estas precize la duonsimplaj enaj algebroj. Ili estas ankaŭ la enaj algebroj (korespondanta, respektiva) al la modala logiko _S5_ kaj en ĉi tiu ĉirkaŭteksto havi ankaŭ estas (nomita, vokis) _S5_ (algebroj, algebras).

En la interrilato inter antaŭordigis aroj kaj enaj algebraj ili esti konforma laŭ la (kesto, okazo) kie la (antaŭordigo, antaŭordigi) estas ekvivalentrilato, reflektanta la fakto (tiu, ke, kiu) tia antaŭordigis aroj provizi la ebla mondo (semantiko, semantikoj, semantikas) por _S5_. Ĉi tiu ankaŭ reflektas la interrilato inter la unuloka logiko de kvantoro (por kiuj unulokaj Buleaj algebroj provizi algebra priskribo) kaj _S5_ kie la modalaj operatoroj □ (bezone) kaj ◊ (eble) povas esti interpretita en la ebla mondo (semantiko, semantikoj, semantikas) uzanta unuloka universala kaj ekzistokvantoro respektive sen referenco al _accessibility_ rilato.

[redaktu] _Heyting_ (algebroj, algebras)

La (malfermi, malfermita) eroj de ena algebro (formo, formi) _Heyting_ algebro kaj la (fermita, fermis) eroj (formo, formi) duala _Heyting_ algebro. La regula (malfermi, malfermita) eroj kaj regula (fermita, fermis) eroj esti konforma laŭ la pseŭda-komplementaj eroj kaj dualaj pseŭda-komplementaj eroj de ĉi tiuj (algebroj, algebras) respektive kaj tial (formo, formi) Buleaj algebroj. La _clopen_ eroj esti konforma laŭ la komplementaj eroj kaj (formo, formi) komuna subalgebro de ĉi tiuj Buleaj algebroj kaj ankaŭ de la ena algebra sin. Ĉiu _Heyting_ algebro povas esti (prezentita, prezentis) kiel la (malfermi, malfermita) eroj de ena algebro.

_Heyting_ (algebroj, algebras) ludi la sama rolo por instituteca logiko (tiu, ke, kiu) enaj algebroj ludi por la modala logiko _S4_ kaj Buleaj algebroj ludi por propona logiko. La interrilato inter _Heyting_ (algebroj, algebras) kaj enaj algebroj reflektas la interrilato inter instituteca logiko kaj la modala logiko _S4_ en kiu unu povas interpreti (teorioj, teorias) en instituteca logiko kiel (teorioj, teorias) en _S4_ (fermita, fermis) sub neceseco.

[redaktu] Derivaĵo (algebroj, algebras)

Donita ena algebro A, la fermaĵa operatoro obeas la (aksiomoj, aksiomas) de derivaĵa operatoro, ^D , kien ni povas (formo, formi) derivaĵa algebro D(A) kun la sama suba Bulea algebro kiel A per uzanta la fermaĵa operatoro kiel derivaĵa operatoro.

Ni povas tial estimaj enaj algebroj kiel estante derivaĵo (algebroj, algebras). En ĉi tiuj perspektivaj ili estas precize la (diversaj, diversaĵo) de derivaĵo (algebroj, algebras) (veriganta, kontentiganta) la idento x^D ≥ x.

Donita derivaĵa algebro V kun derivaĵa operatoro ^D, ni povas (formo, formi) ena algebro Mi(V) kun la sama suba Bulea algebro kiel V kaj eno kaj fermaĵaj operatoroj difinis per x^Mi = x·x ' ^D ' kaj x^C = x + x^D respektive. Tial ĉiu derivaĵa algebro povas esti estimita kiel ena algebro. Ankaŭ donita ena algebro A ni havi Mi(D(A)) = A. Tamen ni fari ne bezone havi D(Mi(V)) = V por ĉiu derivaĵa algebro V.

La interrilato inter enaj algebroj kaj derivaĵo (algebroj, algebras) reflektas la interrilato inter la modala logiko _S4_ kaj la modala logiko _wK4_ por kiu derivaĵo (algebroj, algebras) provizi la adekvata algebra (semantiko, semantikoj, semantikas). Ĝi ankaŭ reflektas la interrilato en topologio inter (internoj, internas, malfermaĵoj, malfermaĵas, enoj, enas) kaj (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas) kaj derivis aroj.

[redaktu] Referencoj

• (Bloko, Bari), W.A., (Variecoj, Diversaĵoj, Diversaĵas) de enaj algebroj, PH.Don/Doña tezo, Universitato de Amsterdamo, 1976.
• _Esakia_, L., Instituteca logiko kaj modalo tra topologio, Analoj de Pura kaj Aplikis Logiko, 127, 155-170, 2004
• _McKinsey_, J.C.C. kaj Tarski-a, A., La Algebro de Topologio, Analoj de matematiko, 45, 141-191, 1944
• _Naturman_, C.A., Eno (Algebroj, Algebras) kaj Topologio, PH.Don/Doña tezo, Universitato de Kaburba Departemento de Matematiko, 1991