Vikipedio:Projekto matematiko/Galeza teorio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Galeza teorio (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, Galeza teorio estas branĉo de abstrakta algebro.

Je la plej baza nivelo, ĝi uzas permutaj grupoj al priskribi kiel la diversaj (radikoj, radikas) de donita polinoma ekvacio estas rilatanta al unu la alian. Ĉi tiu estis la originala punkto de vido de _Évariste_ Galezo.

La moderna (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al Galeza teorio, ellaborita per _Richard_ Dedekindo, _Leopold_ Kronecker-a kaj _Emil_ _Artin_, interalie, engaĝas studanta (aŭtomorfioj, aŭtomorfias) de kampaj vastigaĵoj.

Plui abstraktado de Galeza teorio estas (efektivigita, atingita) per la teorio de Galezaj ligoj.

Enhavo 1 Apliko al klasika (problemoj, problemas) 2 La permuta grupo (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al Galeza teorio 2.1 Unua ekzemplo — kvadrata ekvacio 2.2 (Sekundo, Dua) ekzemplo — io _trickier_ 3 La moderna (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) per kampa teorio 4 Solveblaj grupoj kaj solvaĵo per radikaloj 5 La inversa galeza problemo 6 Ekstera (ligoj, ligas) 7 Referencoj

[redaktu] Apliko al klasika (problemoj, problemas)

La naskiĝo de Galeza teorio estis originale motivigita per jena demando, kiu estas sciata kiel la Abelo-_Ruffini_ teoremo.

"Kial estas tie ne formulo por la (radikoj, radikas) de kvina (aŭ pli alta) grada polinoma ekvacio en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la koeficientoj de la polinomo, uzanta nur la kutima algebra (operacioj, operacias) (aldono, subtraho, multipliko, divido) kaj apliko de radikaloj (kvadrataj radikoj, kubaj radikoj, _etc_)?"

Galeza teorio ne nur provizas bela esti konforma al ĉi tiu demando, ĝi ankaŭ eksplikas detale kial ĝi estas ebla al solvi ekvacioj de grado kvar aŭ suba en la pli supre maniero, kaj kial iliaj solvaĵoj preni la (formo, formi) (tiu, ke, kiu) ili fari.

Galeza teorio ankaŭ donas klara _insight_ enen (demandoj, demandas) koncernanta rektilo-kaj-(cirkelo, kompaso) konstruoj. Ĝi donas eleganta karakterizado de la (rilatumoj, rilatumas, rilatoj, rilatas, kvocientoj, kvocientas) de (longoj, longas) (tiu, ke, kiu) povas esti konstruita uzanta nur rektilo kaj (cirkelo, kompaso). Uzanta ĉi tiu, ĝi iĝas relative facila al (respondo, respondi) tia klasika (problemoj, problemas) de geometrio kiel

"Kiu regula (poligonoj, poligonas) estas konstrueblaj poligonoj?"

"Kial ĉu ne ebla al _trisect_ ĉiu angulo?"

[redaktu] La permuta grupo (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al Galeza teorio

Se ni estas donita polinomo, ĝi (majo, povas) okazi (tiu, ke, kiu) iu de la (radikoj, radikas) de la polinomo estas koneksa per diversaj algebraj ekvacioj. Ekzemple, ĝi (majo, povas) turni ekster (tiu, ke, kiu) por du de la (radikoj, radikas), diri A kaj B, la ekvacio A² + 5B³ = 7 tenas. La centra ideo de Galeza teorio estas al konsideri tiuj (permutoj, permutas) (aŭ (reordigoj, reordigas)) de la (radikoj, radikas) havanta la propraĵo (tiu, ke, kiu) (ĉiu, iu) algebra ekvacio kontentigita per la (radikoj, radikas) estas ankoraŭ kontentigita post la (radikoj, radikas) havi estas permutita. Grava _proviso_ estas (tiu, ke, kiu) ni limigi nin mem al algebraj ekvacioj kies koeficientoj estas racionalaj nombroj. (Unu povus anstataŭe precizigi certa kampo en kiu la koeficientoj devus (mensogi, kuŝi), sed por la simpla (ekzemploj, ekzemplas) pli sube, ni estos limigi nin mem al la kampo de racionalaj nombroj.)

Ĉi tiuj (permutoj, permutas) kune (formo, formi) permuta grupo, ankaŭ (nomita, vokis) la Galezagrupo de la polinomo (super la racionalaj nombroj). Ĉi tiu povas esti farita multa pli klara per vojo de ekzemplo.

[redaktu] Unua ekzemplo — kvadrata ekvacio

Konsideri la kvadrata ekvacio

x² − 4x + 1 = 0.

Per uzanta la kvadrata formulo, ni trovi (tiu, ke, kiu) la du (radikoj, radikas) estas

A = 2 + √3,   kaj

B = 2 − √3.

(Ekzemploj, Ekzemplas) de algebraj ekvacioj kontentigita per A kaj B inkluzivi

A + B = 4,   kaj

_AB_ = 1.

Evidente, en ĉu de ĉi tiuj ekvacioj, se ni interŝanĝi A kaj B, ni ricevi alia vera (propozicio, frazo, ordono). Ekzemple, la ekvacio A + B = 4 iĝas simple B + A = 4. Plue, ĝi estas vera, sed malproksime malpli evidenta, (tiu, ke, kiu) ĉi tiu tenas por ĉiu ebla algebra ekvacio kontentigita per A kaj B; al pruvi ĉi tiu postulas la teorio de simetriaj polinomoj.

Ni konkludi (tiu, ke, kiu) la Galezagrupo de la polinomo x² − 4x + 1 konsistas de du (permutoj, permutas): la identa permuto kiu lasas A kaj B netuŝita, kaj la transpona permuto kiu interŝanĝas A kaj B. Kiel grupo, ĝi estas izomorfia al la cikla grupo de (mendi, ordo) du, signifita Z/2Z.

Unu povus (altigi, relevi) la kontraŭargumento (tiu, ke, kiu) A kaj B estas rilatanta per ankoraŭ alia algebra ekvacio,

A − B − 2√3 = 0,

kiu faras ne resti vera kiam A kaj B estas interŝanĝita. Tamen, ĉi tiu ekvacio ne koncerni ni, ĉar ĝi ne havi (racionala, racionalo) koeficientoj; en aparta, √3 estas ne (racionala, racionalo).

Simila diskuto aplikas al (ĉiu, iu) kvadrata polinomo _ax_² + _bx_ + c, kie a, b kaj c estas racionalaj nombroj.

• Se la polinomo havas nur unu radiko, ekzemple x² − 4x + 4 = (x−2)², tiam la Galezagrupo estas bagatela; tio estas, ĝi enhavas nur la identa permuto.
• Se ĝi havas du klara (racionala, racionalo) (radikoj, radikas), ekzemple x² − 3x + 2 = (x−2)(x−1), la Galezagrupo estas denove bagatela.
• Se ĝi havas du (malracia, malracionala) (radikoj, radikas) (inkluzivanta la (kesto, okazo) kie la (radikoj, radikas) estas komplekso), tiam la Galezagrupo enhavas du (permutoj, permutas), (justa, ĵus) kiel en la pli supre ekzemplo.

[redaktu] (Sekundo, Dua) ekzemplo — io _trickier_

Konsideri la polinomo

x⁴ − 10 x² + 1,

kiu povas ankaŭ esti skribita kiel

(x² − 5)² − 24.

Ni deziri al priskribi la Galezagrupo de ĉi tiu polinomo, denove super la kampo de racionalaj nombroj. La polinomo havas kvar (radikoj, radikas):

A = √2 + √3,

B = √2 − √3,

C = −&_radic_;2 + √3,

D = −&_radic_;2 − √3.

Estas 24 ebla (vojoj, vojas) al permuti ĉi tiuj kvar (radikoj, radikas), sed ne ĉiuj de ĉi tiuj (permutoj, permutas) estas (membroj, membras) de la Galezagrupo. La (membroj, membras) de la Galezagrupo devas konfiti (ĉiu, iu) algebra ekvacio (kun (racionala, racionalo) koeficientoj!) engaĝante A, B, C kaj D. Unu tia ekvacio estas

A + D = 0.

Pro tio la permuto

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

estas ne (konsentita, permesita), ĉar ĝi (konvertas, konvertoj) la valida ekvacio A + D = 0 enen la ekvacio A + C = 0, kiu estas malvalida ekde A + C = 2√3 ≠ 0.

Alia ekvacio (tiu, ke, kiu) la (radikoj, radikas) kontentigi estas

(A + B)² = 8.

Ĉi tiu estos ekskludi plui (permutoj, permutas), kiel

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Daŭranta en tiamaniere, ni trovi (tiu, ke, kiu) la nur (permutoj, permutas) cetera estas

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

kaj la Galezagrupo estas izomorfia al la Kvar-grupo de Klein.

[redaktu] La moderna (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) per kampa teorio

En la moderna (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo), unu startas kun kampa vastigaĵo L/K, kaj ekzamenas la grupo de kampo (aŭtomorfioj, aŭtomorfias) de L/K. Vidi la artikolo sur Galezagrupoj por plui ekspliko kaj (ekzemploj, ekzemplas).

La ligo inter la du (manieroj, proksimiĝoj) estas kiel sekvas. La koeficientoj de la polinomo koncerna devus elektiĝi de la baza kampo K. La supra kampo L devus esti la kampo ricevis per aliganta la (radikoj, radikas) de la polinomo koncerna al la baza kampo. (Ĉiu, Iu) permuto de la (radikoj, radikas) kiu (respektoj, respektas) algebraj ekvacioj kiel priskribis pli supre donas pligrandiĝo al aŭtomorfio de L/K, kaj (malvirto, ŝraŭbtenilo) _versa_.

En la unua ekzemplo pli supre, ni estita studanta la vastigaĵo Q(√3)/Q, kie Q estas la kampo de racionalaj nombroj, kaj Q(√3) estas la kampo ricevis de Q per aliganta √3. En la (sekundo, dua) ekzemplo, ni estita studanta la vastigaĵo Q(A,B,C,D)/Q.

Estas kelkaj (avantaĝoj, avantaĝas) al la moderna (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) super la permuta grupo (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo).

• Ĝi (konsentas, permesas) malproksime pli simpla (propozicio, frazo, ordono) de la fundamenta teoremo de galeza teorio.
• La uzi de bazaj kampoj escepte Q estas krita en multaj areoj de matematiko. Ekzemple, en algebra nombroteorio, unu ofte faras Galezaj teoriaj uzantaj nombraj kampoj, finiaj kampoj aŭ lokaj kampoj kiel la baza kampo.
• Ĝi permesas unu al pli facile studi malfinio (vastigaĵoj, vastigaĵas). Denove ĉi tiu estas grava en algebra nombroteorio, kie ekzemple unu ofte diskutoj la absoluta galeza grupo de Q, difinis al esti la Galezagrupo de K/Q kie K estas tegaĵo de Q.
• Ĝi permesas por konsidero de _inseparable_ (vastigaĵoj, vastigaĵas). Ĉi tiu (eldoni, eligo) ne ekesti en la klasika kadro, ekde ĝi estis ĉiam implice alprenis (tiu, ke, kiu) aritmetika prenita loko en karakteriza nulo, sed nenula karakterizo ekestas ofte en nombroteorio kaj en algebra geometrio.
• Ĝi forprenas la iom artefarita _reliance_ sur pelanta (radikoj, radikas) de (polinomoj, polinomas). Tio estas, malsama (polinomoj, polinomas) (majo, povas) cedi la sama (superkorpoj, superaj korpoj), kaj la moderna (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) agnoskas la ligo inter ĉi tiuj (polinomoj, polinomas).

[redaktu] Solveblaj grupoj kaj solvaĵo per radikaloj

La nocio de solvebla grupo en grupa teorio permesas ni al difini ĉu polinomo estas solvebla en la radikaloj, dependanta sur ĉu ĝia Galezagrupo havas la propraĵo de solvebleco. En (medolo, esenco), ĉiu kampa vastigaĵo L/K korespondas al kvocienta grupo en komponaĵa serio de la Galezagrupo. Se kvocienta grupo en la komponaĵa serio estas cikla de (mendi, ordo) n, tiam la (korespondanta, respektiva) kampa vastigaĵo estas radikala vastigaĵo, kaj la eroj de L povas tiam esti esprimita uzanta la n(th, -a) radiko de iu ero de K.

Se ĉiuj kvocientaj grupoj en ĝia komponaĵa serio estas cikla, la Galezagrupo estas (nomita, vokis) solvebla, kaj ĉiuj de la eroj de la (korespondanta, respektiva) kampo povas troviĝi per multfoje prenante (radikoj, radikas), (produktoj, produktas, produktaĵoj, produktaĵas, produtoj, produtas), kaj (sumoj, sumas) de eroj de la baza kampo (kutime Q).

Unu de la granda (triumfoj, triumfas) de Galeza Teorio estis la pruvo (tiu, ke, kiu) por ĉiu n > 4, tie ekzisti (polinomoj, polinomas) de grado n kiu estas ne solvebla per radikaloj—la Abelo-_Ruffini_ teoremo. Ĉi tiu estas pro al la fakto (tiu, ke, kiu) por n > 4 la simetria grupo S_n enhavas simpla, ne-cikla, normala subgrupo.

[redaktu] La inversa galeza problemo

Vidi ĉefa artikolo: inversa galeza problemo

Ĝi estas facila al konstrui kampaj vastigaĵoj kun (ĉiu, iu) donita finia grupo kiel Galezagrupo. Tio estas, ĉiuj finiaj grupoj fari okazi kiel Galezagrupoj.

Por (tiu, ke, kiu), elekti kampo K kaj finia grupo G. _Cayley_'s teoremo diras (tiu, ke, kiu) G estas (supren al izomorfio) subgrupo de la simetria grupo S sur la eroj de G. Elekti (argumentoj, argumentas) {x_α}, unu por ĉiu ero α de G, kaj aligi ilin al K al preni la kampo F = K({x_α}). Enhavita en F estas la kampo L de simetriaj racionalaj funkcioj en la {x_α}. La Galezagrupo de F/L estas S, per baza rezulto de _Emil_ _Artin_. G (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas) sur F per limigo de ago de S. Se la invariantokorpo de ĉi tiu ago estas M, tiam, per la fundamenta teoremo de galeza teorio, la Galezagrupo de F/M estas G.

Ĝi estas (malfermi, malfermita) problemo (en ĝenerala) kiel al konstrui kampaj vastigaĵoj de (fiksis, neŝanĝebligita) tera kampo kun donita finia grupo kiel Galezagrupo.

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

• http://www.partow.net/projects/galois/index.html Galeza Kampa Aritmetika Biblioteko

Iu konektite _tutorials_ sur Galeza teorio aperi je:

• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
• http://nrich.maths.org/mathsf/journalf/feb02/art2/index_l2h.html

Surlinia (lernolibroj, lernolibras) en Franca, Germana, Itala kaj Angla povas troviĝi je:

• http://www.galois-group.net/

[redaktu] Referencoj

• (Represanta de (sekundo, dua) reviziis redakcio de 1944, La Universitato de _Notre_ Damo Premi).
• (Ĉapitro 4 donas enkonduko al la kampo-teoria (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) al Galeza teorio.)