Vikipedio:Projekto matematiko/Kurbeca formo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kurbeca formo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En diferenciala geometrio, la kurbeca formo priskribas kurbeco de ligo sur ĉefa pakaĵo. Ĝi povas esti konsiderata kiel alternativo aŭ ĝeneraligo de kurbeca tensoro en Rimana geometrio.

[redaktu] Difino

Estu G esti Grupo de Lie kaj $E\to B$ esti ĉefa G-pakaĵo. Estu ni signifi la (Mensogi, Kuŝi) algebro de G per $g$ . Estu $ω$ signifi liga formo sur E (kiu estas g-valora unu-formo sur E).

Tiam la kurbeca formo estas la g-valora 2-(formo, formi) sur E difinis per

$\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.$

Ĉi tie $d$ staras por eksteraĵa derivaĵo, $[\cdot,\cdot]$ estas la (Mensogi, Kuŝi) krampo difinis per $[\alpha \otimes X, \beta \otimes Y] := \alpha \wedge \beta \otimes [X, Y]_\mathfrak{g}$ kaj D signifas la eksteraĵa kunvarianca derivaĵo. Pli detale,

$\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) +{1\over 2}[\omega(X),\omega(Y)].$

Se $E\to B$ estas fibra pakaĵo kun struktura grupo G unu povas ripeti la sama por la asociita ĉefa G-pakaĵo.

Se $E\to B$ estas vektora pakaĵo tiam unu povas ankaŭ (opinii, pensi) de $ω$ kiel pri matrico de 1-(formoj, formas) tiam la pli supre formulo prenas jeno (formo, formi):

$\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega,$

kie $\wedge$ estas la kojno (produkto, produto). Pli detale, se $\omega^i_j$ kaj $\Omega^i_j$ signifi (komponantoj, komponantas) de $ω$ kaj $Ω$ (responde, korespondante, respektive), ((do, tiel) ĉiu $\omega^i_j$ estas kutima 1-(formo, formi) kaj ĉiu $\Omega^i_j$ estas kutima 2-(formo, formi)) tiam

$\Omega^i_j=d\omega^i_j +\sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j.$

Ekzemple, la tangenta pakaĵo de Rimana dukto ni havi $O (n)$ kiel la struktura grupo kaj $\Omega^{}_{}$ estas la 2-(formo, formi) kun (valoroj, valoras) en $o (n)$ (kiu povas esti penso de kiel malsimetriaj matricoj, donita ortnormala bazo). En ĉi tiu (kesto, okazo) la (formo, formi) $\Omega^{}_{}$ estas alternativa priskribo de la kurbeca tensoro, nome en la normo (notacio, skribmaniero) por kurbeca tensoro ni havi