Vikipedio:Projekto matematiko/Kvadrata kampo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Kvadrata kampo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, kvadrata kampo estas kampa vastigaĵo K/Q de la (formo, formi)

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$

kie d estas ne-nula racionala nombro. Tia (vastigaĵoj, vastigaĵas) surveturi ĉiuj kampaj vastigaĵoj de la racionala nombra kampo (tiu, ke, kiu) estas de grado 2 (kvadrata (vastigaĵoj, vastigaĵas)). Se d > 0 ĉi tiu estas (nomita, vokis) (reala, reela) kvadrata kampo, kaj por d < 0 imaginara kvadrata kampo. Tiaj kampoj estas baza klaso de (ekzemploj, ekzemplas) en algebra nombroteorio. Ili havi estas studita en granda profundaĵo, (komence, fonte) kiel parto de la teorio de kvadrataj formoj. Tie resti iu nesolvita (problemoj, problemas).

Ni povas preni d al esti entjero. Fakte d povas esti ŝanĝita per (ĉiu, iu) perfekta kvadrato, tiel ke al preni ĉiuj kampoj akurate iam ni devus preni prezentanto d supren al (kvadratoj, placoj, kvadratigas). Tio estas, ni (majo, povas) preni d al esti kvadrata libera entjero, pozitiva aŭ negativa. La diskriminanto de la (korespondanta, respektiva) kvadrata kampo estas tiam d, se d estas kongrua al 1 module 4, kaj alie 4d.

Ekzemple, kiam d estas −1 tiel ke K estas la kampo de (do, tiel)-(nomita, vokis) Gaŭsa (racionaloj, racionalas), la diskriminanto estas −4. La kaŭzo por ĉi tiu distingo (rilatas, rakontas) al ĝenerala algebra nombroteorio; la algebraj entjeroj en K estas (naskita, generita) per 1 kaj la kvadrata radiko de d nur en la (sekundo, dua) (kesto, okazo), kaj en la unua (kesto, okazo) estas tia (entjeroj, entjeras) (tiu, ke, kiu) (mensogi, kuŝi) je duono la 'kradaj punktoj' (ekzemple, kiam d = −3, ĉi tiuj estas la Eisenstein-a (entjeroj, entjeras), donita per la kompleksaj kubaj radikoj de unueco).

[redaktu] La kvadrata subkorpo de la primo _cyclotomic_ kampo

Klasika ekzemplo de la konstruado de kvadrata kampo estas al preni la unika kvadrata kampo ene la _cyclotomic_ kampo generita per primitivo pOna radiko de unu, kun p primo > 2. La unikeco estas konsekvenco de Galeza teorio, tie estante unika subgrupo de indekso 2 en la Galezagrupo super Q. Kiel eksplikis je Gaŭsa (periodo, punkto), la diskriminanto de la kvadrata kampo estas p por p = 4n + 1 kaj −p por p = 4n + 3. Ĉi tiu povas ankaŭ esti aŭgurita de sufiĉa _ramification_ teorio. Fakte p estas la nur primo (tiu, ke, kiu) _ramifies_ en la _cyclotomic_ kampo, tiel ke p estas la nur primo (tiu, ke, kiu) povas dividi la kvadrata kampa diskriminanto. (Tiu, Ke, Kiu) reguloj ekster la 'alia' (diskriminantoj, diskriminantas) −4p kaj 4p en la respektiva (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas).

Se unu prenas la alia _cyclotomic_ kampoj, ili havi Galezagrupoj kun superflua 2-_torsion_, kaj (do, tiel) enhavi almenaŭ tri kvadrataj kampoj.

[redaktu] Prima faktorigo enen (idealoj, idealas)

(Ĉiu, Iu) primo p donas pligrandiĝo al idealo p.O_K en la ringo de (entjeroj, entjeras) O_K de kvadrata kampo K. En linio kun ĝenerala teorio, ĉi tiu (majo, povas) esti

prima idealo, aŭ
(produkto, produto) de du klaraj primaj idealoj de O_K, aŭ
la kvadrato de prima idealo de O_K.

La tria (kesto, okazo) okazas nur por la (primoj, primas) dividanta la diskriminanto. La alia du (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas) ambaŭ okazi, kiel p (varias, ŝanĝiĝas), kaj en certa (senso, senco) estas egale verŝajna. La (sekundo, dua) (kesto, okazo) estas (nomita, vokis) p (forkiĝanta, fendanta), kaj la unua (kesto, okazo) p cetera inerteco. La unua (kesto, okazo) korespondas al la kvocienta ringo

O_K/p.O_K

estante finia kampo kun p² eroj, la (sekundo, dua) al ĝi estante (produkto, produto) de du finiaj kampoj ĉiu kun p eroj. En la tria (kesto, okazo), p estas dirita al _ramify_, kaj la kvocienta ringo enhavas ne-nulo (nulpotenca, nilpotenta) eroj.