Vikipedio:Projekto matematiko/Nuldivizoro

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Nuldivizoro
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En abstrakta algebro, ne-nula ero a de ringo R estas (maldekstre, restita) nuldivizoro se tie ekzistas ne-nulo b tia (tiu, ke, kiu) abo = 0. (Ĝusta, Dekstra, Rajto) nuldivizoroj estas difinita analoge, tio estas, ne-nula ero a de ringo R estas (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoro se tie ekzistas ne-nulo b tia (tiu, ke, kiu) _ba_ = 0. Era tio estas ambaŭ (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoro estas simple (nomita, vokis) nuldivizoro. Se la multipliko estas komuta, tiam unu ne devi (distingi, diferencigi) inter (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoroj. Ne-nula era tio estas neniu (maldekstre, restis) nek (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoro estas (nomita, vokis) regula.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

La ringo $\mathbb{Z}$ de (entjeroj, entjeras) ne havi (ĉiu, iu) nuldivizoroj, sed en la ringo $\mathbb{Z}^2$ (kie (aldono, adicio) kaj multipliko estas portita ekster komponanto saĝa), ni havi (0,1) × (1,0) = (0,0) kaj (do, tiel) ambaŭ (0,1) kaj (1,0) estas nuldivizoroj.

En la faktora ringo $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ , la klaso de 4 estas nuldivizoro, ekde 3×4 estas kongrua al 0 module 6.

Ekzemplo de nuldivizoro en la ringo de 2-per-2 matricoj estas la matrico

$\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}$

ĉar ekzemple

$\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ -1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ -2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}$

Pli ĝenerale en la ringo de n-per-n matricoj super iu kampo, la (maldekstre, restis) kaj (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoroj koincidi; ili estas precize la nenulaj singularaj matricoj. En la ringo de n-per-n matricoj super iu integrala domajno, la nuldivizoroj estas precize la nenulaj matricoj kun determinanta nulo.

[redaktu] Propraĵoj

(Maldekstre, Restita) aŭ (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoroj povas neniam esti (unuoj, unuas), ĉar se a estas inversigebla kaj abo = 0, tiam 0 = a⁻¹0 = a⁻¹abo = b.

Ĉiu ne-nula kvadrategala ero a≠1 estas nuldivizoro, ekde a² = a (implicas, enhavas) a(a − 1) = (a − 1)a = 0. Ne-nulo (nulpotenca, nilpotenta) ringaj eroj estas ankaŭ bagatele nuldivizoroj.

Se a estas (maldekstre, restita) nuldivizoro, kaj x estas ajna ringa ero, tiam _xa_ estas ĉu nulo aŭ (maldekstre, restis) nuldivizoro. Jena ekzemplo montras (tiu, ke, kiu) la sama ne povas esti dirita pri _ax_. Konsideri la aro de ∞-per-∞ matricoj super la ringo de (entjeroj, entjeras), kie ĉiu (linio, vico) kaj ĉiu kolumno enhavas nur finie multaj ne-nulaj elementoj. Ĉi tiu estas ringo kun ordinara matrica multipliko. La matrico

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0&0&\\ 0 & 0 & 1 &0&0&\cdots\\ 0 & 0 & 0 &1&0&\\ 0&0&0&0&1&\\ &&\vdots&&&\ddots \end{pmatrix}$

estas (maldekstre, restita) nuldivizoro kaj B = A^T estas pro tio (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoro. Sed _AB_ estas la identa matrico kaj de ĉi tie certe ne nuldivizoro. En aparta, ni povas konkludi (tiu, ke, kiu) A ne povas esti (ĝusta, dekstra, rajto) nuldivizoro.

Komuta ringo kun 0≠1 kaj sen nuldivizoroj estas (nomita, vokis) integrala domajno.

Nuldivizoroj okazi en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ se kaj nur se n estas _composite_. Kiam n estas primo, estas ne nuldivizoroj kaj ĉi tiu faktora ringo estas, fakte, kampo, kiel ĉiu ero estas unuo.