Vikipedio:Projekto matematiko/Projekcia modulo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Projekcia modulo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, aparte en abstrakta algebro kaj _homological_ algebro, la koncepto de projekcia modulo super ringo R estas pli fleksebla ĝeneraligo de la ideo de libera modulo (tio estas, modulo (modela teorio) kun bazvektoroj). Diversaj ekvivalentaj karakterizadoj de ĉi tiuj (moduloj, modulas) estas havebla.

Projekciaj moduloj estis unua prezentis en 1956 en la influa libro _Homological_ Algebro per _Henri_ _Cartan_ kaj _Samuel_ _Eilenberg_.

Enhavo 1 (Difinoj, Difinas) 1.1 Direkto (termoj, termas) de liberaj moduloj 1.2 (Levanta, Liftanta) propraĵo 2 Vektoraj pakaĵoj kaj loke liberaj moduloj 3 (Faktoj, Faktas)

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

[redaktu] Direkto (termoj, termas) de liberaj moduloj

La plej facila karakterizado estas kiel direkta termo de libera modulo. Tio estas, modulo (modela teorio) P estas projekcia provizis estas modulo (modela teorio) Q tia (tiu, ke, kiu) la direkta sumo de la du estas libera modulo F. De ĉi tiu ĝi sekvas (tiu, ke, kiu) ni povas (opinii, pensi) de P kiel speco de projekcio en F: la modulo (modela teorio) endomorfio en F tio estas la idento sur P kaj 0 sur Q estas kvadrategala matrico.

[redaktu] (Levanta, Liftanta) propraĵo

Alia voja tio estas pli en linio kun teorio de kategorioj estas al ekstrakti la propraĵo, de (levanta, liftanta), (tiu, ke, kiu) (portoj, portas) super de libera al projekciaj moduloj. Uzanta bazo de libera modulo F, ĝi estas facila al vidi (tiu, ke, kiu) se ni estas donita (surjekcia, surĵeta) modulo (modela teorio) homomorfio de N al M, la (korespondanta, respektiva) surĵeto de _Hom_(F,N) al _Hom_(F,M) estas ankaŭ (surjekcia, surĵeta) (ĝi's de (produkto, produto) de (kopioj, kopias) de N al la (produkto, produto) kun la sama indeksa aro por M). Uzanta la (homomorfioj, homomorfias) P → F kaj F → P por projekcia modulo, ĝi estas facila al vidi (tiu, ke, kiu) P havas la sama propraĵo; kaj ankaŭ (tiu, ke, kiu) se ni povas (levi, lifto) la idento P → P al P → F por F iu libera modula surĵeto sur P, (tiu, ke, kiu) P estas direkta termo.

Ni povas resumi ĉi tiu (levanta, liftanta) propraĵo kiel sekvas: modulo (modela teorio) P estas projekcia se kaj nur se por (ĉiu, iu) (surjekcia, surĵeta) modulo (modela teorio) homomorfio f : N → M kaj ĉiu modulo (modela teorio) homomorfio g : P → M, tie ekzistas homomorfio h : P → N tia (tiu, ke, kiu) _fh_ = g. (Ni don't postuli la (levanta, liftanta) homomorfio h al esti unika; ĉi tiu estas ne universala propraĵo.)

La avantaĝo de ĉi tiu difino de "projekcia" estas (tiu, ke, kiu) ĝi povas esti portita ekster en (kategorioj, kategorias) pli ĝenerala ol modulo (modela teorio) (kategorioj, kategorias): ni don't (bezoni, bezono, necesa) nocio de "libera objekto". Ĝi povas ankaŭ esti _dualized_, kondukante al disĵetaj moduloj.

Por (moduloj, modulas), la (levanta, liftanta) propraĵo povas ekvivalente esti esprimita kiel sekvas: la modulo (modela teorio) P estas projekcia se kaj nur se por ĉiu (surjekcia, surĵeta) modulo (modela teorio) homomorfio f : M → P tie ekzistas modulo (modela teorio) homomorfio h : P → M tia (tiu, ke, kiu) _fh_ = _id__P. La ekzisto de tia sekcia mapo h (implicas, enhavas) (tiu, ke, kiu) P estas direkta termo de M kaj (tiu, ke, kiu) f estas esence projekcio sur la termo P.

[redaktu] Vektoraj pakaĵoj kaj loke liberaj moduloj

Baza motivado de la teorio estas (tiu, ke, kiu) projekciaj moduloj (almenaŭ super certaj komutaj ringoj) estas _analogues_ de vektoraj pakaĵoj. Ĉi tiu povas esti farita preciza por la ringo de kontinua (reala, reela)-valoraj funkcioj sur kompakta Hausdorff-a spaco, kaj ankaŭ por la ringo de glataj funkcioj sur kompakta glata (dukto (matematiko), dukto) (vidi Teoremo de Swan).

Vektoraj pakaĵoj estas loke libera. Se estas iu nocio de "lokaligo" kiu povas esti portita super al (moduloj, modulas), kiel estas donita je lokaligo de ringo, unu povas difini loke liberaj moduloj, kaj la projekciaj moduloj tiam tipe koincidi kun la loke liberaj aĵoj. Aparte, finie generita modulo (modela teorio) super komuta ringo estas loke libera se kaj nur se ĝi estas projekcia.

[redaktu] (Faktoj, Faktas)

Direktaj sumoj kaj direkto (termoj, termas) de projekciaj moduloj estas projekcia.

Se e = e² estas kvadrategala en la ringo R, tiam Rao estas projekcia (maldekstre, restis) modulo (modela teorio) super R.

(Submoduloj, Submodulas) de projekciaj moduloj (bezoni, bezono, necesa) ne esti projekcia; ringo R por kiu ĉiu submodulo de projekcia (maldekstre, restis) modulo (modela teorio) estas projekcia estas (nomita, vokis) (maldekstre, restita) hereda.

La kategorio de finie generitaj projekciaj moduloj super ringo estas akurata kategorio. (Vidi ankaŭ algebra K-teorio).

Ĉiu modulo (modela teorio) super kampo aŭ korpo estas projekcia ((eĉ, ebena, para) libera). Ringo super kiu ĉiu modulo (modela teorio) estas projekcia estas (nomita, vokis) duonsimpla.

Komuta grupo (kio estas modulo (modela teorio) super Z) estas projekcia se kaj nur se ĝi estas libera komuta grupo. La sama estas vera por ĉiuj ĉefidealaj domajnoj; la kaŭzo estas (tiu, ke, kiu) por ĉi tiuj (ringoj, ringas, sonoras), (ĉiu, iu) submodulo de libera modulo estas libera.

Ĉiu projekcia modulo estas (plata, apartamento). La konversacii estas en ĝenerala ne vera: Q estas (plata, apartamento) komuta grupo kiu estas ne projekcia.

Donita modulo (modela teorio), M, projekcia rezolucio de M estas akurata vico (eble malfinio) de (moduloj, modulas)

· · · → P_n → · · · → P₂ → P₁ → P₀ → M,

kun ĉiu P_mi's projekcia. Ĉiu modulo (modela teorio) _possesses_ projekcia rezolucio. Tia akurata vico (majo, povas) iam vidiĝi skribita kiel akurata vico P(M) → M → 0.

En linio kun la pli supre intuicio de "loke libera = projekcia" estas jena teoremo pro al _Kaplansky_: super loka ringo, R, ĉiu projekcia modulo estas libera. Ĉi tiu estas facila al pruvi por finie generitaj projekciaj moduloj, sed la ĝenerala (kesto, okazo) estas malfacila.

La _Quillen_-_Suslin_ teoremo estas alia profunda rezulto; ĝiaj ŝtatoj (tiu, ke, kiu) se K estas kampo kaj R = K[X₁,...,X_n] estas polinomringo super K, tiam ĉiu projekcia modulo super R estas libera.