Bola abierta

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En Matemática (en concreto en Topología y en las ramas que la utilizan), una bola abierta es un conjunto de puntos que distan de otro menos que un cierto radio. Es un concepto fundamental en el Análisis Matemático.

[editar] Definición y notaciones

Sea $(E, d)$ un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que $d$ sea pseudodistancia). Sea un número real $r > 0$ . Sea $a \in E$ . Se define la bola abierta de centro $a$ y radio $r$ (o símplemente bola de centro $a$ y radio $r$ ) como el conjunto $\{x \in E: d(a,x)<r\}$ .

Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es $B (a, r)$ . A veces, si en el espacio existen distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace incapién en qué (pseudo)-distancia se está usando para definir el conjunto, utilizando esta notación: $B d (a, r)$ . En algunos textos se denota sin embargo por $B r (a)$ .

En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados se prefiere la notación $U (a, r)$ para denotar la bola abierta. Así, $U$ denota a la bola de centro $0$ y radio $1$ . La notación $B (a, r)$ se reserva para las bolas cerradas (con el peligro de confusión que eso genera).

Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término, por lo que la bola de centro $a$ y radio $r$ coincide en esos casos con los puntos encerrados en el interior de una superficie esférica. En el caso particular del plano, la figura entonces obtenida (es decir, el conjunto $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2\}$ ) es el disco (abierto) de centro $(a, b)$ y radio $r$ , razón por la cual se denota por $Δ((a, b), r)$ . Nótese que esta situación se da en particular en Variable Compleja, siendo entonces la notación $\Delta(z,r) = \{\xi \in \mathbb{C}: |z - \xi|=r\}$ (donde $| ξ |$ representa el módulo de $ξ$ ). Aunque no es estándar, sí es usual encontrar textos en los que $Δ$ denota al disco de radio unidad centrado en el origen, i.e., $Δ = B (0,1)$ .

[editar] Propiedades

Toda bola abierta es un conjunto abierto.

El conjunto de todas las bolas abiertas de un espacio pseudométrico ( $\{B(x,r): x \in E, r >0\}$ ) forman una base de la topología asociada a la pseudodistancia. Si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (por ejemplo, el punto $x$ ), el conjunto de bolas abiertas centradas en $x$ ( ${B (x, r): r > 0}$ ) forman una base de entornos de $x$ . En concreto es una base de entornos abiertos, conexos, conexos por caminos y símplemente conexos. Si el espacio es además un espacio vectorial topológico, también es base de entornos convexos. De hecho, podemos tomar la siguiente base de entornos: $\{B(x,r): r \in \mathbb{Q},r>0\}$ que (además de tener todas las propiedades antecichas) es numerable. Esto prueba que todo espacio pseudométrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.