Categorías y fundamentos

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El surgimiento de la teoría de categorías es un importante acontecimiento no sólo para la matemática, la física... sino para las ciencias en general y la filosofía. En los años 40 del siglo XX, dos matemáticos, Samuel Eilenberg & Saunders MacLane, inventaron el concepto de categoría y gran parte del resto de la genial "maquinaria" que le sigue. Todo se resume --al principio es sencillo-- en: "haz que todo sea una "flecha", una relación" (---->).

Si se quiere una rápida (wiki quiere decir rápido/a) mirada sobre el concepto de categoría ver los espacios donde ponemos la definición y un ejemplo, reconocibles por que están marcados con puntos y con barras separadoras. Este artículo es un primer intento a la hora de presentar el lado "conceptual" de este tema de fundamentos de la matemática. Apenas se va a conseguir aquí tal meta, pero espero que podamos irlo consiguiendo (ver enlaces del final para ello).

Vivimos cierta "revolución silenciosa" en el pensamiento y que queremos intentar plasmar en este "artículo/llamada-de-atención". La teoría de las categorías es uno de los lugares donde se está jugando esta especie de revolución. Por ello requiere de cierta filosofía (todos hacemos cierta filosofía cuando decimos que no la tenemos en cuenta).

[editar] Objetividad y Real ahistórico:

A veces la fría "contemplación" matemática no sirve para la presentación adecuada de "lo que está pasando". Para mantener el espíritu "objetivo" que requiere esta enciclopedia se ha de insistir desde el principio en que esta teoría puede convivir y convive con todo lo demás, y que afirmaciones como la del físico John Baez, que "todo encaja en el bello marco de esta teoría", son debidas a que estamos tratando con un tema muy delicado: los fundamentos de la matemática. Tema que es polémico en sí y que requiere en cierto modo de "no ser objetivos". Las intuiciones requieren decisiones, las decisiones se basan en anteriores intuiciones, en anteriores decisiones, pero no por completo. Existe cierto Real ahistórico que provoca transformaciones, no todo es "historia".

[editar] La teoría de las categorías objetiva muchos fenómenos.

La teoría de las categorías está sirviendo precisamente para "objetivar" cosas nunca antes "objetivadas" tan claramente. Es entonces comprensible por qué esta lenta aproximación: la teoría de las categorías en cierto modo sirve para cambiar el sentido de lo que se pide tradicionalmente en un artículo enciclopédico, esto es, objetividad. Insistamos en esto: los fundamentos de la matemática atañen al estatuto de lo objetivo, a las concepciones usuales, a conceptos básicos no especializados, por lo tanto no pueden ser presentados como otra teoría más. Esta sería la presentación más objetiva de un tema que estamos diciendo que "re-objetiva". El esfuerzo en "pensar profundo lo básico" que conllevan los fundamentos debe ser ejemplificado e ilustrado de alguna manera, y con lo que se expone aquí se espera ir contribuyendo a hacer más fácil su práctica.

[editar] La matemática es pensamiento

La matemática, pese a que es usada demasiado a menudo en educación para convencernos de que no es algo que nos concierna, de que es simplemente igual a "cálculo", y para convencernos de que en general nos tenemos que aburrir demasiado, es, sin embargo, "pensamiento". Los matemáticos crean conceptos "de la nada", de esa nada tan Real que persiguen todas las ciencias y que la filosofía tematiza tan diestramente con palabras como por ejemplo la de "Acontecimiento".

• ¿Una nueva era? Las categorías hacen más fácil el pensamiento.

Los matemáticos no saben bien hablar de lo que hacen --se dice que es condición de su práctica el no saber hacerlo--, lo que mejor se les da entonces sería el "hacerlo". Ahora, con las categorías, se está configurando de otra manera cierto "mapa" de las matemáticas. La teoría de las categorías apunta hacia una posibilidad, la de cierta mayor conceptualización, explicación, en definitiva, capacidad de hablar. Creo que es así de importante, e importante para todos, comunidad matemática "especializada" inclusive. Existen matemáticos (Lawvere...) que no sólo trabajan en matemáticas y fundamentos de la matemática, también lo hacen en fundamentos de la física y que incluso escriben sobre filosofía.

Estamos demasiado acostumbrados a vernos como el ombligo del mundo: se nos hace difícil comprender que el mundo no se acaba con nosotros y que por ello no debemos sólo preocuparnos por la "salud" de nuestro profesional y muy especializado "paso por el mundo". Resulta que existe "la inteligencia", en general, existe la verdad (local y localizada). Galileo ¿era físico? ¿era matemático?... No; Galileo pensaba. ¿Se enseña ahora a pensar? No necesariamente. Se intenta, -en los territorios todo a lo largo del mundo rico- que se aprenda, que se domine quizás un cierto corpus matemático, que está volcado hacia la parte técnica tradicionalmente no conceptual de la matemática, y que gira excesivamente en torno a un empobrecido y pobre concepto de número. Las alternativas verdaderamente fascinantes que aporta la conceptualización pretendidamente "avanzada" son fácilmente introducibles y "traducibles", no son tan complejas, son fundamentales (por eso se trata de fundamentos de la matemática, región de las matemáticas que tampoco para de desarrollarse).

Ahora bien, a poco que pensemos, las fronteras, las percepciones en cuanto a la separación entre matemáticas, física y filosofía nunca van a dejar de cambiar y seguramente con el objetivo de conseguir cierta unificación (y aquí es donde puede estar desempeñando el papel la teoría de las categorías). ¿Por qué no deben dejar de cambiar? Porque... ¿qué hace un matemático? Piensa, también; pero, ¿con qué? Pues primeramente y para pisar tierra firme creo que debemos decir, sin miedo: piensa con el "cuerpo físico" llamado cerebro/cuerpo.

Así que la matemática es cierto acto humano que "actualiza aquello que existe en potencia" básicamente en nuestra realidad cerebral física, que, aunque moldeada como queráis por lo social es básica y fundamentalmente "física". Y ¿Por qué sólo "cerebral"? Intentemos una pequeña "demostración", proporcionada quizá por un sentido común no tan común ahora. Pues es básicamente sólo cerebral simplemente porque la realidad exterior, la que tematiza la física, es matematizable(!), y la matemática la hacemos con el cerebro(cuerpo) que previamente ha vivido un proceso de socialización mediante esa comunicación, habla, uso de papel y lápiz, ordenadores, etc.

También: ¿qué hace un físico? Pues piensa. Y piensa "matematizando", conceptualizando matemáticamente, ¡con el cerebro!, que es "de donde salen" también las matemáticas (con el matiz aquel de la socialización). Aunque pensemos y a veces creemos una supuesta "realidad exterior" la estaremos pensando con cierta realidad física interna: el cerebro.

Ahora bien, ¿qué hace un filósofo? Piensa. ¿Qué? Pues mucha gente cree que los filósofos piensan en todo y en nada. Aunque no es exactamente así. Los filósofos se intentan servir de gran parte de la "cultura" que les rodea --digamos que amplifican --virtualmente con libros o bien en la realidad con vivencias variadas o se someten a las condiciones de aquellos procesos socializantes, etc-- para pensar las relaciones entre el saber y la verdad, pensamiento y mundo, lo real y lo dicho sobre lo real, etc. Esto es, lo Real. El acontecimiento. Nos sorprendermos creando nuevas relaciones entre saber y verdad, permitiendo nuevos discursos y nuevas "realidades". Nuestro cerebro, como realidad física, comparte con las demás realidades físicas esta "capacidad", por ello existe la filosofía. Nuestro cerebro no está fuera del universo, y es gracias a ello por lo que existen las llamadas revoluciones teóricas, etc. Es ya entonces obvio que aquello de pensar nunca fue lo que "realmente" quiere que hagamos nuestro sistema de enseñanza (decídselo a Einstein por ejemplo, es ya un tópico), y nunca será lo que quieren nuestros gobernantes o nuestros vigilantes, nunca mientras dinero y poder sigan tan unidos. Pensar siempre se hace en bastante medida "a contracorriente de lo que hay", aunque esto esté más o menos difuminado por una, la nuestra, realidad educativo-cultural-institucional.

Por todo esto y porque la teoría de las categorías unifica y puede ayudar a objetivizar y organizar el pensamiento --más en general de lo que podemos creer si sólo conocemos aspectos formales-- son importantes los fundamentos de las matemáticas y en concreto esta teoría basada en el eterno y simple concepto de relación: atañen al estatus de "lo objetivo" cerebral-social-técnico. Ahora sigamos con nuestra época y las matemáticas, dejemos el eternamente sorprendente y moderno "Real".

• Matemáticos y su trabajo. Revoluciones "objetivistas": son "anti-enciclopédicas". El trabajo de un matemático se puede desarrollar -creemos que se debería desarrollar siempre- en principio y para mayor "progreso" y mejor "educación", en dos ámbitos interrelacionados:
  1.- Fundamentos de la matemática (conjuntos, lógica, y ahora categorías, etc...).
  2.- Dentro de una o varias "especialidades matemáticas".
  La teoría de las categorías, a la vez que una especialidad matemática enorme, es la continuación, conceptualmente rica, de la "revolución" en fundamentos que se produjo con los "conjuntos", las "estructuras", (Cantor, Dedekind...). Los conjuntos son y han sido muy útiles para esa labor fundamental: nombrar "conceptos básicos" que antes nadie nombraba pero que todos, en cierto modo, ya usábamos. Pero con los conjuntos podemos decir que se tenía cierta "fundamentación" desde abajo. Con las categorías se hace, de entrada y también, "desde arriba". Objetivizamos las relaciones, las estructuramos a nivel muy básico.
• Conjuntos y número: ¡busca, pregúntate por dónde hay "flechas" en la definición básica de Conjuntos! (es un buen ejercicio quizás y se puede, pero sería más fácil si estuviera más divulgada la teoría de las categorías). Para explicar un poco más sobre categorías nos vamos a servir de los conjuntos. Si os dáis cuenta un conjunto, es, de entrada, "un" conjunto, (remarca la palabra "un" en tu cabeza), esto es, cierto "uno". Un conjunto es hacer uno con algo, en algo, de algo. Pero... ¿y ese algo? ¿Qué tienen los conjuntos en su interior, qué variación acogen? Pues bien, más "unos": se dice que constan de "elementos", "puntos". Hacemos conjuntos de objetos, de personas, de lo que sea (¡casi!), esto es, hacemos más y más "unos". Así que como véis los conjuntos dependen en cierto modo del "número", que ¡no lo es todo en matemáticas! Que el número no debiera ser "todo" lo que se dicta en las matemáticas básicas, se nos ha hecho, si cabe, más patente con la teoría de las categorías. De una manera más fundamental hemos comprobado que no sólo existe el "hacer uno". También existe el "hacer relación" y que el centrarse en ello nos permite ese cierto "mapeo" del que hablamos arriba. Una advertencia: este hacer flecha, relacionar, parece una tontería, claro, pero cuidado, estamos en matemáticas, por lo que debe existir cierta "estructura" básica (que va a estar omnipresente): al igual que hablábamos de "conjuntos" como cierta forma de estructurar, de hablar, de dar vida al hecho de "hacer uno", una categoría es en cierto modo lo equivalente, es la "estructura" que buscamos para nuestro "hacer relación", hacer uno de algo que no sea sólo un miserable punto, que sea al menos ¡una --miserable-- flecha!

[editar] Concepto de Categoría

Una categoría es la estructura donde más natural y básicamente se "encuadra" la capacidad de hacer relaciones. Y es un concepto bastante simple, aunque, por la falta de costumbre no lo es tanto como el de conjunto. Una categoría tiene que tener, como tenían los conjuntos, objetos, ciertos "elementos" que vamos a llamar

• objetos: {A, B, C, ...}.

Pero lo importante en una categoría son las:

• flechas: {f, g, h, ...}. Existen flechas entre los objetos.

Y cada flecha,

• f  : A ---> B

tiene asignado un objeto (di por ejemplo "A") de "origen" (dominio) y otro objeto (di por ejemplo "B") de llegada (codominio). Esto casi es lo mismo que tenemos en la definición de "función", "aplicación". Si no os han contado alguna vez las funciones mirad más abajo en el ejemplo de categoría que vamos a poner.

Las reglas que cumplen las flechas en cada categoría son, básicamente:

• COMPONIBILIDAD: si tengo una flecha "f" de A hacia B y otra flecha "g" de B a C, entonces ¡tengo una de A a C!: llamada " (g · f) " (ojo: ¡NO se escribe (f · g)  ! ¡ "el orden" es en cierto modo al revés que como se escribe !)

• ¡ASOCIATIVIDAD! Os lo imaginaréis ya quizá: si tengo 3 flechas

  "f" : A -----> B,

  "g" : B -----> C

  "h" : C -----> D,

  será lo mismo "ir" de A a D pasando por la compuesta de g con h, (h · g), (que va de B a D) con lo que hacemos este "camino":

  (h · g) · f

  , que "ir" de A a D pasando por la compuesta de f con g:(g ·f), que va de B a C, haciendo este otro:

  h · (g · f).

  Esto es: (h · g) · f = h · (g · f)

• IDENTIDADES. Todo objeto "A" tiene que tener una flecha y sólo una que salga y entre en él:

  A -----> A

Todo esto tiene que "conectar" bien. Pero más o menos hemos terminado de definir qué es una categoría. (Habría que poner un ejemplo, abajo lo intentamos con la categoría "conjuntos finitos").

Ahora sigamos esta introducción saltando a otra cosa.

[editar] Lógica y categorías. I: "prelógica"

Las categorías pueden ser vistas como los universos donde se hacen las matemáticas. Es por decirlo así una "pre-lógica" básica que se cumple en cada universo de "ser", en cada universo matemático (la matemática "dice" el ser en la "filosofía" que estamos manejando; para nosotros todo matemático maneja una "filosofía", por ejemplo cuando dicen ser simplemente "objetivos" (cierta "filosofía silenciosa, silenciada", podríamos decir)). Intentamos aquí por tanto iniciar la presentación de la utilidad de la "filosofía" que manejamos y queremos que no sea necesariamente la misma, ya que por lo que hemos visto hasta ahora, es común quizá el que los matemáticos no se preocupen demasiado de cómo comunicar sus hallazgos: no es fácil "pensar" ese a su vez pensamiento desplegado en su práctica, la matemática (su práctica es ya pensamiento y las matemáticas no necesitan pensar tal pensamiento). Es la tarea de todos/as entonces el remediar en la medida en que podamos esta situación y aquí sólo hacemos un intento.

Los universos matemáticos donde se muestra, se presenta, el aparecer matemático, tienen esos objetos y esas flechas, que llamamos en general "morfismos". Pero las categorías matemáticas a su vez se relacionan entre sí, los universos matemáticos se "conectan", ayudándonos así a estudiarlos (con lo que al final terminamos estudiando a veces más sus relaciones que cada universo en sí). Por ejemplo, este es el caso de la parte de las matemáticas que se llama "topología algebraica" (y que fue en lo que trabajaban los inventores de las categorías cuando se les ocurrieron las generalizaciones que llevan a todo esto). Esta disciplina es, primeramente, el estudio de la interrelación entre dos categorías, la de los espacios "topológicos" junto con cierta categoría "algebraica" (bien sea la de grupos, o anillos...). El lenguaje de esa interrelación es lo que se inventaron esos matemáticos. Tuvieron que inventar el concepto básico de categoría para hablar de la comunicación entre tales universos matemáticos. Hablar de "transformaciones naturales", funtores...

Pero han ocurrido otros acontecimientos notables, sugerentes y fundamentales tras estos primeros inventos. Giran en torno al nombre de Grothendieck, Lawvere, en lo que concierne a fundamentos, lógica, etc.

Lawvere es otro matemático, en vida (2003), que es, por cierto, coautor de los pocos libros de iniciación que tenemos en esto. Uno de estos libros se ha traducido al castellano ("Matemáticas Conceptuales: una primera introducción a categorías". Siglo XXI. 2002.). Hay cierto tipo de categorías, los Topos, (cuya definición más básica es la dada por Lawvere (ver referencias abajo), y que éste matemático usa para su interesante labor en fundamentos de la ciencia en general). Los topos (¡)generalizan el comportamiento de la categoría "conjuntos finitos"(!) (fijémonos, esta categoría, fabricada con los conjuntos, que va a dar cuenta de cómo nos aparece el universo "conjuntos finitos", como universo de flechas y objetos, ¡va a ser una categoría!, y de las más básicas que hay: a ella "reducimos" a veces mucho de lo que hacemos o pensamos):

[editar] Lógica y categorías II: Categoría de "conjuntos finitos" y lógica

"Conjuntos finitos" es la categoría que consiste en:

• "Objetos": los objetos son los conjuntos, "bolsas", "fundas" con una cantidad finita de bolitas y

• "Morfismos": que son las simples aplicaciones entre las bolsas. El concepto de aplicación debe ser recordado: una aplicación del conjunto A al conjunto B debe asignar un elemento de B ¡A CADA! elemento de A. Esto es, para todo a en A, que elijamos, debe existir un b en B que sea "imagen" de dicho a en A. Si el concepto de aplicación no fuera posible ni útil no existiría esta categoría, pues la componibilidad y la asociatividad de las flechas, que son en realidad las cosas más fundamentales en matemáticas, nos obligan a definir como acabamos de hacer el concepto de aplicación.

Queremos mostrar cómo lo que perseguimos es el generalizar fenómenos básicos que ocurren en la categoría de "conjuntos finitos"; con ello vamos a poder dar un sentido interno y objetivo a la lógica en otras categorías, si es que se puede hacer tal cosa en ellas.

La lógica contiene la posibilidad de decir que algo sea verdadero o falso. Por ejemplo, si tenemos una bolsa de bolitas, A, podemos preguntarnos cuáles de esas bolas cumplen cierta propiedad (ser rojas). Entonces, como véis, podéis asociar una cierta aplicación del conjunto A de bolas hacia un conjunto con dos elementos:

{ v, f}
, (v por "verdadero" y f por "falso"), y que podéis visualizar como una bolsa que contiene dos bolas que llamamos "v" y "f". Esta aplicación lleva cada bola roja en A hacia "v" y cada bola en A que sea de otro color hacia f (contamos con que sus colores están bien diferenciados).

Este es cierto "rasgo" de la lógica, que, como véis, hemos relacionado con lo que es importante para nuestro concepto de categoría y en la categoría en la que nos encontramos: la flecha, el morfismo.

Esto que acabamos de hacer aclara este hecho: a cada parte de un conjunto dado A, osea, la parte de un conjunto que cumple cierta propiedad ("ser la parte de A que consiste en todas sus bolas rojas"), podemos asociar una, y sólo una flecha hacia el conjunto { v, f }. Este conjunto se llama "objeto de valores de verdad", y como véis, también pertenece a esta categoría concreta, a este universo: es simplemente el conjunto de dos bolas, ¡ el 2 ! {"verdadero", "falso"} Acabamos de objetivar cierto rasgo de la lógica en una categoría; una categoría simple pero muy útil para suministrarnos intuiciones, la de los conjuntos finitos. Los demás conceptos de la lógica, los cuantificadores lógicos (el existe, el para todo...), etc, tendrán su objetivación correspondiente, pero siempre en términos de lo que tenemos en nuestro universo, es decir, de flechas y objetos, por eso decimos 'objetivar'. Ahora bien, y ahora es cuando viene una idea fundamental y que pone como condición de las matemáticas la idea de "verdad parcial":

¿Y en otras categorías? ¿Se podrá hacer esto en todas?

¿En cuáles?

Esto es, ¿habría por ejemplo "objetos de valores de verdad" en otras? Pues sí, para esto se han inventado un tipo de categorías, llamadas Topos. Para que una categoría, para que cierto universo de relaciones, sea un topos, esto es, se comporte como aquella de conjuntos finitos (tenga un cierto "objeto de valores de verdad", etc...), debe cumplir ciertas "reglas", que cumple la categoría "conjuntos finitos" (sólo hemos "visto" la del "objeto de valores de verdad"). Pero cuidado, fijarse por ejemplo en que el objeto "valores de verdad" ¡no va a tener por qué ser el simple 2!, ya que ¿qué es 2 en otro universo matemático que no sea el de "conjuntos finitos"? Pensad que los objetos en otras categorías pueden ser cosas y son cosas muy distintas que "bolsas de bolitas". Los universos del ser-matemático, del ser, son algo muy loco --el ser está muy loco--, no son tan sencillos como "conjuntos finitos". Así que en un topos --como vimos que ocurre en "conjuntos finitos"-- a toda parte de cierto objeto "A", a todo subobjeto de A, se le va a poder asociar una flecha desde el objeto del cual es subobjeto hacia el objeto "valores de verdad". William Lawvere y los desarrolladores de estas teorías han permitido a un filósofo francés que también está vivo (2005), Alain Badiou, decir cosas como las siguientes en relación a la internalización de la lógica. (La lógica es cierta "dimensión" interna a cada universo matemático, en cada categoría que sea un Topos, y por cierto, cuando Badiou dice "ontología" es como si dijera "matemáticas"): "Así se cumple el deseo de Aristóteles: que la lógica se prescriba ontológicamente. Prescripción ejercida, sin embargo, no a partir de la equivocidad del ser, sino, al contrario, a partir de su univocidad. Cosa que arrastra a la filosofía, sometida a la condición de las matemáticas, a repensar el ser según lo que a mi parecer es su programa contemporáneo: el de comprender cómo es posible que una situación cualquiera del ser sea a la vez multiplicidad pura en los linderos de la inconsistencia, e intrínseca y sólida vinculación de su aparecer." Aclaremos más. Gracias a la teoría de las categorías podemos hablar internamente (y matemáticamente, dándole un cierto ser) de la lógica. De una lógica que da cuenta del aparecer, en cada universo. Este aparecer tiene un ser, puesto que es matemáticas, la teoría de las categorías es matemáticas, es cierta "observación matemática desde fuera" del mundo de relaciones en un universo matemático; es una disciplina más de la ciencia del ser-en-tanto-que-ser, de la matemática. A la vez en cierto modo es lógica. Por eso se podrá decir: "la lógica se prescribe matemáticamente, ontológicamente". Y como también dice Badiou: "La teoría de los topoi da razón de la pluralidad de las lógicas posibles. (...), esta teoría es efectivamente, lógica matemática. Es decir, en el interior de la ontología, es ciencia del aparecer, ciencia de lo que significa que toda verdad del ser sea irremediablemente una verdad local".

(Se pueden ver estos textos en: Breve tratado de ontología transitoria Alain Badiou. Gedisa editorial. 2002)

[editar] Materiales

El libro básico de Lawvere & Schanuel está traducido al castellano: Matemáticas conceptuales: una primera introducción a categorías, siglo XXI, 2002.

En internet existen gran cantidad de materiales en inglés sobre la teoría de las categorías. Podéis visitar y buscar con el Google páginas y textos más o menos divulgativos

• del propio Lawvere,
• del físico matemático John Báez... etc.
• Existe un libro descargable: "Toposes, triples and theories", de Barr & Wells, que es un tratado grueso sobre categorías y topos.

[editar] Enlaces externo

• La lectura y el trabajo de LA TEORÍA DE CATEGORIAS. FUNDAMENTO DE LAS MATEMÁTICAS Y DEL MATERIALISMO DIALÉCTICO sería importante para reformar y completar este artículo.

Si queréis contribuir, o dáis con esta página y ya sabéis de qué va todo esto y queréis ayudar por ejemplo con algún texto de divulgación sobre la obra más reciente de Badiou, etc, aquí tenéis un enlace sobre un proyecto que creé, muy lento y muy a la larga: http://arrows.ourproject.org. También podéis ver la sección de discusión para discutir o ayudar con algún comentario referente a lo que queráis.