Divisibilidad
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Decimos que un número entero b es divisible por otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que b = a·c. Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b (o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. Véase el algoritmo de la división.
Todo número entero mayor que 1 es divisible por 1 y por sí mismo. Los números que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos
[editar] Propiedades
Sean a, b, c ∈ Z:
- 1. 1|a, a|0, a|a.
- 2. Si a|b y b|a, entonces a = ±b.
- 3. Si a|b y b|c, entonces a|c.
- 4. Si a|b, entonces a|bx, ∀x ∈ Z.
- 5. Si a|b y a|c, entonces a|(bx + cy), ∀x, y ∈ Z.
- 6. Si a|b·c y mcd(a,b)=1, entonces a|c
[editar] Criterios de divisibilidad
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.
| Número | Criterio | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | El número acaba en 0 ó cifra par. | 374: porque "4" es par. |
| 3 | La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. | 405: porque 4+0+5 = 9 es múltiplo de 3. |
| 4 | El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4. | 7324: porque 24 es múltiplo de 4. |
| 5 | La última cifra es 0 ó 5. | 485: porque acaba en 5. |
| 6 | El número es divisible por 2 y por 3. | 24: Ver criterios anteriores. |
| 7 | Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es. | 469: porque 46-2·9 = 28 que es múltiplo de 7. |
| Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7. | 52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7. | |
| 8 | El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8. | 27280: porque 280 es múltiplo de 8. |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9. | 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9. |
| 10 | La última cifra es 0. | 470: La última cifra es 0. |
| 11 | Se suman y restan las cifras que forman el número de forma alternativa para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es) | 4972: porque 4-9+7-2 = 0 es múltiplo de 11. |
| 12 | El número es divisible por 3 y 4. | 528: Ver criterios anteriores. |
| 13 | Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le suma la última multiplicada por 4. Si el resultado es múltiplo de 13, el número original también lo es. | 364: porque 36+4·4= 52 es múltiplo de 13. |
| Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar y restar alternativamente los grupos de derecha a izquierda y aplicar el criterio de arriba al resultado obtenido. Si es multiplo de 13, el número original también lo es. | 432549: porque 549-432 = 117 y luego 11 + 4·7 = 39 es múltiplo de 13. | |
| 14 | El número es divisible por 2 y por 7. | 224: Ver criterios anteriores |
| 15 | El número es divisible por 3 y por 5. | 255: Ver criterios anteriores |
| 16 | El número formado por las cuatro últimas cifras es múltiplo de 16. | 254176: porque 4176 es múltiplo de 16. |
| 17 | Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le resta esta última cifra múltiplicada por 5, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 17. | 493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17. |
| 18 | El número es divisible por 2 y por 9. | 576: Ver criterios anteriores |
| 19 | Al número obtenido al suprimir la última cifra, se le suma esta última cifra múltiplicada por 2, y se comprueba si el resultado es múltiplo de 19. | 323: porque 32+3·2 = 38 es múltiplo de 19. |
| 20 | El número acaba en cero y la penúltima cifra es par. | 480: porque acaba en 0 y 8 es par. |
