Ecuación lineal diferencial

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[editar] Ecuación lineal de primer orden

Para resolver la ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden utilizaremos el método de variación de las constantes de Leibniz. Sea la siguiente EDO (ecuación diferencial ordinaria):

$\frac{dy}{dx}+a(x)y(x)=b(x)$

Primero se trata de obtener una solución de la ecuación homogénea, esto es, con término independiente nulo:

$\frac{dy}{dx}+a(x)y(x)=0$

Separando variables tendremos

$\frac{dy}{y}=-a(x)dx \Rightarrow \log(y)=-\int a(x)dx + \lambda \ \forall \lambda \in \mathbb R$

Y por tanto, una solución de la EDO homogénea es

$y_H(x)=C e^{-\int a(x)dx} \ \forall C=e^{\lambda}$

Si ahora hacemos variar la constante en función de $x$ , tenemos

$y(x)=C(x)\phi(x) \ \forall \phi(X)=e^{-\int a(x)dx}$

Vayamos ahora a la ecuación original no homogénea y sustituyamos

$\phi(x)\frac{dC}{dx}+C(x)\frac{d\phi}{dx}+a(x)C(x)\phi(x)=b(x)$

Si reordenamos esta expresión, tenemos

$\phi(x)\frac{dC}{dx}+C(x)\left(\frac{d\phi}{dx}+a(x)\phi(x)\right)=b(x)$

Sin embargo, $φ(x)$ es solución de la ecuación homogénea para C=1, que es precisamente el término entre paréntesis igualado a 0, por tanto

$\phi(x)\frac{dC}{dx}=b(x) \Leftrightarrow C(x)=\int\frac{b(x)}{\phi(x)}dx=\int b(x)e^{\int a(x)dx}+\beta$

Por tanto, la solución general de la ecuación lineal de primer orden es

$\Psi(x)=C(x)\phi(x)= e^{-\int a(x)dx}\int b(x)e^{\int a(x)dx}dx + \beta e^{-\int a(x)dx} \ \forall \beta \in \mathbb R$

[editar] Ecuación lineal de segundo orden con coeficientes constantes

Sea la EDO de segundo orden con coeficientes constantes

$L(f)=0 \,$

Con el operador diferencial L definido como

$L(y)=\frac{d^2y}{dx}+a_1 \frac{dy}{dx}+a_2 y(x)$

Aplicando L a la función $e λ x$ con λ real, obtenemos

$L(e^{\lambda x}) = (\lambda^2 + a_1 \lambda + a_2) e^{\lambda x} \,$

Que sólo será nulo en caso de que lo sea el polinomio

$p(\lambda)=\lambda^2 + a_1 \lambda + a_2 \,$

Llamado polinomio característico de la ecuación. Por tanto la función

$f(x)= p(\lambda)e^{\lambda x} \,$

Será solución de la ecuación. Tenemos aquí varias posibilidades

1) Sean $\lambda_1 \,$ , $\lambda_2 \,$ sean raíces reales y distintas del polinomio característico, la función

$f(x)=K_1 e^{\lambda_1 x} + K_2 e^{\lambda_2 x} \,$

Es solución de la ecuación

2) Sea $\lambda_1 \,$ una raíz doble del polinomio característico. Entonces la función

$f(x)=K_1 e^{\lambda_1 x}+K_2 x e^{\lambda_1 x} \,$

Es solución de la ecuación

3) Si $\lambda_1 \,$ es una raíz compleja del polinomio característico y $\lambda_2 \,$ es su complejo conjugado, se utiliza 1) conjuntamente a la fórmula de Euler

$e^{a+bi}=e^a e^{ib}=e^{a} (\cos b + i \sin b) \,$

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Categoría: Álgebra

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