Espacio equipado de Hilbert
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En matemáticas, un espacio equipado de Hilbert es una construcción diseñada para ligar distribuciones (y funciones de prueba) y los aspectos cuadrado-integrables del análisis funcional. Tales espacios fueron introducidos para estudiar la teoría espectral en sentido amplio. Puede reunir 'estados ligados' (vector propio) y el 'espectro continuo', en un lugar. Desde una función tal como
,
que es en un sentido obvio un vector propio del operador diferencial
en la recta real R, no es cuadrado-integrable para la medida de Borel usual en R, éste requiere una cierta manera de salir de los límites estrictos de la teoría del espacio de Hilbert. Esto fue provisto por el aparato de distribuciones de Schwartz, y la teoría generalizada de la función propia fue desarrollada en los años 1950. El concepto del espacio equipado de Hilbert pone esta idea en marco funcional-analítico abstracto. Formalmente, un espacio equipado de Hilbert consiste en el espacio de Hilbert H, junto con un subespacio Φ que lleva una topología más fina, para la cual la inclusión natural
es continua. Se puede asumir que ese Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión del espacio dual H* en Φ*. El último, dual al Φ en su topología de la función de prueba, se realiza como un espacio de distribuciones o de funciones generalizadas de una cierta clase, y los funcionales lineales en el subespacio Φ del tipo
para v en H se representan fielmente como distribuciones (porque asumimos Φ denso). Ahora aplicando el teorema de representación de Riesz podemos identificar H* con H. Por lo tanto la definición del espacio equipado de Hilbert es en términos de un sandwich
