Fórmula de Euler
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La fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonhard Euler, establece que:
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas.
Una propiedad importante de esta fórmula de Euler es que contiene dos tipos de simetrías: la par y la impar. La forma coseno es la misma para valores positivos y negativos de la variable x, en este caso. Se dice que ella tiene simetría par. En tanto que la onda seno varía en signo con el signo de la variable x. Se dice que tiene simetría impar. Es sabido que este tipo de simetría desempeña un papel muy importante en la física moderna y aquí tenemos una función con ambos tipos de simetría, razón por la cual en la mecánica cuántica los números complejos son esenciales.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La demostración está basada en la expansión en serie de Taylor de la función exponencial ez (donde z es un número complejo), y la expansión de sin x y cos x.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde (ver Caspar Wessel).
La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números complejos.
Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma -excepto por la unidad imaginaria- con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que en Ingeniería Eléctrica se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.
De las reglas de la exponenciación
y
(válidas para todo par de números complejos a y b), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y conseno como meras variaciones de la función exponencial:
Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas
para el seno y el coseno.
En las ecuaciones diferenciales, la función eix es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la fórmula de Euler
En ingeniería y otras disciplinas, las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (véase análisis de Fourier), y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.
