Función gamma incompleta

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En matemática, la función gamma se define como una integral definida. La función gamma incompleta se define como una integral indefinida del mismo integrando.

Hay dos tipos de función gamma incompleta, una para el caso en el que varía el límite inferior de integración, y otro cuando varía el límite superior. La primera se denota como $Γ(a, x)$ y se define como

$\Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!$

La segunda se escribe $γ(a, x)$ y se define como

$\gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!$

En ambos casos, x es una variable real mayor o igual que cero, y a es una variable compleja, cuya parte real es positiva.

Integrando por partes se demuestra que

$\Gamma(a+1,x) = a\Gamma(a,x) + x^a e^{-x}\,$

$\gamma(a+1,x) = a\gamma(a,x) - x^a e^{-x}.\,$

Dado que la función gamma ordinaria se define como

$\Gamma(a) = \int_0^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!$

tenemos que

$\gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a).\,$

Además,

$\Gamma(a,x)=(a-1)!e^{-x}\sum_{k=0}^{a-1}\frac{x^k}{k!}$ si a es un número entero. (Weisstein)

$\Gamma(a,0) = \Gamma(a)\,$

$\Gamma(a) = (a-1)!\,$ si a es un número entero.

$\gamma(a,x) \rightarrow \Gamma(a) \quad \mathrm{as\ } x \rightarrow \infty. \,$

También,

$\Gamma(0,x) = -\mbox{Ei}(-x)\mbox{ for }x>0 \,$

$\Gamma\left({1 \over 2}, x\right) = \sqrt\pi\,\mbox{erfc}\left(\sqrt x\right) \,$

$\gamma\left({1 \over 2}, x\right) = \sqrt\pi\,\mbox{erf}\left(\sqrt x\right) \,$

$\Gamma(1,x) = e^{-x} \,$

$\gamma(1,x) = 1 - e^{-x} \,$

donde Ei es la función integral exponencial, erf es la función de error, y erfc la función de error complementaria, erfc(x) = 1 − erf(x).

[editar] Funciones Gamma regularizadas

Dos funciones relacionadas son las funciones Gamma regularizadas:

$P(a,x)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}$

$Q(a,x)=\frac{\Gamma(a,x)}{\Gamma(a)}=1-P(a,x)$

[editar] Enlaces externos

Calculadora gratuita de la función Gamma incompleta

[editar] References

M. Abramowitz y I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Ver sección §6.5.)

G. Arfken y H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (Ver capítulo 10.)

W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, y W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Ver Sección 6.2.)