Grupo de Renormalización

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El Grupo de Renormalización (RG) es un concepto de Física Matemática útil para analizar sistemas complejos en los que hay presentes muchos elementos sencillos en interacción.

En el año 1966, cuando la técnica era ya empleada normalmente en física de partículas elementales, Leo P. Kadanoff desarrolló la explicación que resulta más intuitiva del mismo, y que sirvió para dar un nuevo impulso a sus aplicaciones. El RG, según Kadanoff, se basa en el concepto de bloque.

Imaginemos un plano en el que hay situados $N\times N$ átomos, formando una red bidimensional cuadrada. Ahora consideremos la posibilidad de agruparlos, o encapsularlos mentalmente, en bloques de $2\times 2$ átomos, y sustituir cada bloque por un átomo gordo. El nuevo sistema de átomos gordos tendrá 4 veces menos átomos que el anterior.

La transformación anterior se conoce como una transformación de grupo de renormalización (RGT). Podemos iterarla, y el número de átomos efectivo se divide por 4 cada vez.

¿Para qué podríamos querer realizar esta transformación? Imaginemos que la dinámica del sistema formado por átomos gordos pueda describirse mediante una interacción efectiva entre éstos. Es probable que sea más fácil resolver el sistema de $N 2 / 4$ que el sistema original de $N 2$ . Y si repetimos el algoritmo hasta que sólo nos quede un átomo gordísimo, entonces la solución del sistema total será trivial.

Pero, ¿hay sistemas físicos reales que se comporten así? De manera exacta, la respuesta es no. Pero de manera aproximada podríamos decir que la inmensa mayoría, si uno sabe elegir bien cuáles son los átomos gordos.

En términos más formales, podemos decir que una RGT es una transformación abstracta de uno de los dos tipos siguientes:

En un sistema discreto cuyo estado viene dictado por $S\equiv \{s_1, s_2, \cdots, s_N\}$ y una función dinámica $H (S)$ , que puede ser un hamiltoniano, una función de partición... Tras un cierto agrupamiento, tenemos un estado $\tilde{S}$ con un número $M < N$ de variables menor, y una función dinámica efectiva entre ellas $\tilde H(\tilde S)$ .

Las RGT forman, en este caso, un semigrupo discreto. El carácter de semigrupo viene dado por la ausencia, en general, de inversa de una RGT dada.

En una teoría de campos continuos, una transformación del espacio (-tiempo) dada por una transformación de escala seguida de un promediado local, así como su acción sobre la dinámica.

En este caso, las RGT forman un semigrupo continuo.

[editar] Flujo de Renormalización

El caso más favorable es el de las teorías llamadas renormalizables. Supongamos una función dinámica que contenga una serie de parámetros (no dinámicos): $G\equiv\{g_1,\cdots,g_N\}$ . Si la función dinámica renormalizada es, aproximadamente, una teoría con la misma dependencia funcional de las variables dinámicas pero con unos valores distintos para los parámetros, entonces se dirá que el conjunto de las RGT induce un flujo en $G$ , llamado flujo de renormalización.