Matriz positiva-definida

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En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que es análoga a los números reales positivos.

Tabla de contenidos

1 Definiciones equivalentes
2 Propiedades
3 Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas
4 Caso no hermitiano

[editar] Definiciones equivalentes

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en más notaremos la transpuesta de una matriz o vector $a$ como $a T$ , y el conjugado transpuesto, $a *$ . Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) formulaciones equivalentes:

1.	Para todos los vectores no nulos $z \in \mathbb{C}^n$ tenemos que $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0$ . Nótese que $z M z$ es siempre real.
2.	Todos los autovalores $λ i$ de $M$ son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3.	La función $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ define un producto interno $\mathbb{C}^n$ .
4.	Todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo. la superior izquierda de M de dimensión 1x1 la superior izquierda de M de dimensión 2x2 la superior izquierda de M de dimensión 3x3 ... $M$ en sí misma

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza $\mathbb{C}^n$ por $\mathbb{R}^n$ , y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

[editar] Propiedades

Toda matriz definida positiva es inversible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.

Si $M$ es una matriz definida positiva y $r > 0$ es un número real, entonces $r M$

Si $M$ y $N$ son matrices definidas positivas, entonces la suma $M + N$ , el producto $M N M$ y $N M N$ son definidas positivas, además si

$M N = N M$ , entonces $M N$ es también definida positiva.

Toda matriz definida positiva $M$ , tiene al menos una matriz raíz cuadrada $N$ tal que $N 2 = M$ .

[editar] Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas

La matriz hermitiana $M$ se dice definida negativa si

$x^{*} M x < 0\,$

para todos los vectores $x \in \mathbb{R}^n$ (ó $\mathbb{C}^n$ ) no nulos. Se llama semidefinida positiva si

$x^{*} M x \geq 0$

para todo $x \in \mathbb{R}^n$ (ó $\mathbb{C}^n$ ) y semidefinida negativa si

$x^{*} M x \leq 0$

para todo $x \in \mathbb{R}^n$ (ó $\mathbb{C}^n$ ).

Una matriz hermitiana, que no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores se dice indefinida

[editar] Caso no hermitiano

Una matriz real M puede tener la propiedad x^TMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

es un ejemplo. En general, tendremos x^TMx > 0 para todo vector real no nulo x si y sólo si la matriz simétrica (M + M^T) / 2, es definida positiva.

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Categoría: Matrices

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