Momento angular

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El momento angular o momento cinético de una masa puntual, en física clásica, es igual al producto vectorial del vector de posición $\scriptstyle{\vec r}$ (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento $\scriptstyle{\vec p}$ (también llamado momento lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo $\scriptstyle{\vec L}$ :

$\vec L=\vec r \times\vec p = \vec r\times m\vec v$

En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.

Tabla de contenidos

1 Momento angular de una masa puntual
- 1.1 Dependencia temporal
2 Momento angular de un conjunto de partículas
- 2.1 Cuerpos rígidos
3 Conservación del momento angular
- 3.1 Ejemplo
4 Momento angular en mecánica cuántica

[editar] Momento angular de una masa puntual

El momento angular de una partícula con respecto al punto es el producto vectorial de su momento lineal por el vector . Aquí, el momento angular es perpendicular al dibujo y está dirigido hacia el lector.

El momento angular de una partícula con respecto al punto $\scriptstyle{O}$ es el producto vectorial de su momento lineal $\scriptstyle{m\vec v}$ por el vector $\scriptstyle{\vec r}$ . Aquí, el momento angular es perpendicular al dibujo y está dirigido hacia el lector.

En el dibujo de derecha vemos una masa $\scriptstyle{m}$ que se desplaza con una velocidad instantánea $\scriptstyle{\vec v}$ . El momento angular de esta partícula, con respecto a la recta perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle{\vec r}$ y $\scriptstyle{\vec v}$ es, como ya se ha escrito:

$\vec L = \vec r \times m\vec v \,$

El vector $\scriptstyle{\vec L}$ es perpendicular al plano que contiene $\scriptstyle{\vec r}$ y $\scriptstyle{\vec v}$ , luego es paralelo a la recta considerada como eje de rotación. En el caso del dibujo, el vector momento angular sale del dibujo y va hacia el observador. Véase producto vectorial y regla del sacacorchos.

El módulo del momento angular es:

$L=mrv\sin\theta=p\,r\sin\theta=p\,\ell\,$

Es decir, el módulo es igual al momento lineal multiplicado por su brazo, el cual es la distancia entre el eje de rotación y la recta que contiene la velocidad de la partícula. Por esta razón, algunos designan el momento angular como el "momento del momento".

[editar] Dependencia temporal

Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:

${d\vec L\over dt}={d\ \over dt}(\vec r\times \vec p)= \left({d\vec r\over dt}\times \vec p \right)+\left( \vec r\times{d\vec p\over dt}\right) \,$

El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de $\scriptstyle{\vec r}$ con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad $\scriptstyle{\vec v}$ . Y como el vector velocidad de paralelo al vector cantidad de movimiento $\scriptstyle{\vec p}$ , el producto vectorial de los dos es cero. Nos queda el segundo paréntesis:

${d\vec L\over dt}=\vec r\times{d\over dt}\vec p=\vec r\times{d\over dt}m\vec v=\vec r\times(m\vec a) \,$

donde $\scriptstyle{\vec a}$ es la aceleración. Pero $\scriptstyle{m\vec a=\vec F}$ , la fuerza aplicada a la masa. Y el producto vectorial de $\scriptstyle{\vec r}$ por la fuerza es el torque o momento de fuerza aplicado a la masa:

${d\vec L\over dt}=\vec r\times \vec F=\vec \tau\,$

La derivada temporal del momento angular es igual al torque aplicado a la masa puntual.

[editar] Momento angular de un conjunto de partículas

El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

$\vec L=\sum \vec L_i \,$

La variación temporal es:

${d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\sum\vec\tau_i \,$

El término de derecha es la suma de todos los torques producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los torques producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los torques de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los torques externos:

${d\vec L\over dt}=\sum{d\vec L_i\over dt}=\vec\tau_{ext.} \,$

El momento angular de un conjunto de partículas se conserva en ausencia de torques externos.

Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.

[editar] Cuerpos rígidos

Cuando el conjunto de partículas forma un cuerpo rígido, sabemos que

$\vec \tau=I\vec \alpha \,$

donde:

$\scriptstyle{\vec \tau}$ es el torque aplicado al cuerpo.
$\scriptstyle{I}$ es el momento de inercia del cuerpo.
$\scriptstyle{\vec \alpha}$ es la aceleración angular del cuerpo.

Luego:

${d\vec L\over dt}=I\vec\alpha=I{d\vec\omega\over dt} \,$

Como el momento angular es cero si no hay rotación:

$\vec L=I\vec \omega \,$

donde $\scriptstyle{\vec \omega}$ es la velocidad angular del cuerpo.

[editar] Conservación del momento angular

Cuando la suma de los torques externos es cero $\scriptstyle{\vec \tau=0}$ , hemos visto que:

${d\vec L\over dt}= 0\,$

Eso quiere decir que $\scriptstyle{\vec L=\mathrm{ constante}}$ . Y como $\scriptstyle{\vec L}$ es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su módulo de inercia es $\scriptstyle{I_1}$ y su velocidad angular $\scriptstyle{\vec\omega_1}$ . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un torque externo) y que la mueva distribución de masas hace que su nuevo momento de inercia sea $\scriptstyle{I_2}$ , su velocidad angular cambiará de manera tal que:

$I_1\vec\omega_1=I_2\vec\omega_2 \,$

Como el momento de inercia es un escalar, la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación.

Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:

En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida de manera de aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite de disminuir la velocidad de rotación. Lo mismo para el salto de plataforma o el trampolín.
Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los torques externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños torques inevitables, como el producido por el viento solar.
Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en pulsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.
Debido a la mareas, la luna ejerce un torque sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.

[editar] Ejemplo

La masa gira tenida por un hilo que puede deslizar a través de un tubito delgado. Tirando del hilo se cambia el radio de giro sin modificar el momento angular.

En el dibujo de derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin frotamientos y no tenemos cuenta de la gravedad.

La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un torque sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de torques externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.

Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y

Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial $\scriptstyle{\Delta V}$ a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y $\scriptstyle{\Delta V}$

En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio $\scriptstyle{R_1}$ en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un momento. Ese impulso comunica una velocidad radial $\scriptstyle{\Delta V}$ a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente $\scriptstyle{V}$ con $\scriptstyle{\Delta V}$ . La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia $\scriptstyle{R_2}$ , cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio $\scriptstyle{R_2}$ . En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite de escribir:

${V_2\over V_1}={R_1\over R_2} \,$

o sea:

$V_1R_1=V_2 R_2 \,$

Y, si multiplicamos por la masa $\scriptstyle{m}$ , obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:

$mV_1R_1=mV_2 R_2 \,$

Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa.

También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suela el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó.

No es necesario de hacer la experiencia dando un tirón. Se la puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.

[editar] Momento angular en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, se transforma en un operador, análogamente al momento lineal. Las funciones propias del momento angular cuántico son los llamados armónicos esféricos, que se construyen a partir de los polinomios de Legendre. Tienen especial importancia por ser la componente angular de los orbitales atómicos.

categoria:física

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