Producto de matrices

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Este artículo da una visión general del producto de matrices.

Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x₁,x₂) hacen corresponder el punto N(y₁,y₂) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, por ejemplo, el sistema:

$\left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

se escribe de forma matricial así:

$\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}$

Como se ve, en la notación matricial, las variables soló aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.

Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e y_1 + f y_2\\ z_2 = g y_1 + h y_2 \end{matrix} \right. \mbox{ con } \left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

obtenemos:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e(a x_1 + b x_2) + f(c x_1 + d x_2) = (ea + fc)x_1 + (eb + fd)x_2\\ z_2 = g(a x_1 + b x_2) + h(c x_1 + d x_2) = (ga + hc)x_1 + (gb + hd)x_2 \end{matrix} \right.$

lo que corresponde a la matriz:

$\begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

Por lo tanto se define el producto de matrices así:

$\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

Para recordar el método para multiplicar matrices, existe una disposición más llamativa: se sube la matriz de la derecha, y se escribe el producto debajo de ella:

La figura ilustra el hecho siguiente: si C = AB, el elemento de la matriz C en la línea i y la columna j es el producto de la fila i de A y de la columna j de B. ( en la figura: i = 1 y j = 2).

Matemáticamente, la fórmula se escribe :

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$

Esto es posible sólo cuando el número de filas de B, es decir, la dimensión del espacio de salida de B, es igual al número de columnas de A, que es la dimensión del espacio de entrada de A.

El caso es parecido cuando se componen dos funciones f y g: En $g\circ{}f$ , la imagen de f (Im f) debe estar incluida en el dominio de definición de g (D_g). Si f y g son lineales, Im f y D_g son de la forma $\mathbb{R}^n$ .

Se llama rango de la matriz a la dimensión del espacio generado por sus columnas, consideradas como vectores. La dimensión es el número máximo de columnas independientes. También es la dimensión del espacio generado por las filas, y el número máximo de filas independientes.

Las aplicaciones lineales invertibles tienen un papel importante en las matemáticas. Para ser inversible a la izquierda y la derecha, una aplicación lineal debe tener espacios de entrada y salida de la misma dimensión, por lo tanto en el caso de las matrices, sólo pueden ser inversibles si n = m, es decir si son cuadradas. El elemento neutro del conjunto de las matrices cuadradas de orden n corresponde al neutro de las aplicaciones lineales, es decir a la aplicación idéntica. Se llama matriz identidad.

El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../p/r/o/Producto_de_matrices.html"

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