Sólidos de Kepler-Poinsot

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Un sólido de Kepler (también llamado sólido de Kepler-Poinsot) es un poliedro regular no convexo, cuyas caras son todas polígonos regulares y que tiene en todos sus vértices el mismo número de caras que se encuentran (compárese con los sólidos platónicos).

Las caras están solo parcialmente en la superficie del sólido, y las partes expuestas están sólo conectadas en puntos (si están conectadas de algún modo). Si las partes se cuentan como caras separadas, el sólido deja de ser regular.

Hay cuatro sólidos de Kepler distintos:

Sólidos de Kepler-Poinsot
Nombre		Imagen	Caras		Aristas	Vértices		Simetría
K₁	Pequeño dodecaedro estrellado	Animación	12	12 × pg	30	12	12 × 5/2⁵	I_h
K₂	Gran dodecaedro estrellado	Animación	12	12 × pg	30	20	20 × 5/2³	I_h
K₃	Gran icosaedro	Animación	20	20 × te	30	12	12 × 3^5/2	I_h
K₄	Gran dodecaedro	Animación	12	12 × pr	30	12	12 × 5^5/2	I_h
pg = pentagramas; pr = pentágonos regulares te = triángulos equiláteros

Los dos primeros son estrellamientos, es decir, sus caras son cóncavas. Los otros dos tienen caras convexas, pero cada par de caras que se encuentra en un vértice de hecho lo hace en dos.

Los sólidos de Kepler fueron definidos por Johannes Kepler en 1619, cuando notó que los dodecaedros estrellados (tanto el grande como el pequeño) se componían de dodecaedros "ocultos" (con caras pentagonales) que tienen caras compuestas de triángulos, tomando la apariencia de estrellas estilizadas. En realidad, Wenzel Jamnitzer halló el gran dodecaedro estrellado en el siglo XVI, y Paolo Uccello descubrió y dibujó el pequeño dodecaedro estrellado en el siglo XV. La contribución de Kepler fue reconocer que cumplían con la definición de sólidos regulares, aunque fueran cóncavos en lugar de convexos como los tradicionales sólidos platónicos. Los otros dos, el gran icosaedro y el gran dodecaedro, fueron descriptos por Louis Poinsot en 1809, razón por la que en alguna literatura aparecen como Sólidos de Poinsot.

Un sólido de Kepler cubre su esfera circunscrita más de una vez, con los centros de las caras como puntos direccionales en los sólidos con caras en forma de pentagrama, mientras que en los otros son los vértices los que cumplen esa función. Por esta razón, no son necesariamente equivalentes topológicos de la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular la característica de Euler V − E + F = 2 se verifica solamente para Gran dodecaedro estrellado y Gran icosaedro.

Esto dependerá de cómo observemos el poliedro. Considérese, por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado [1]. Consiste de un dodecaedro con una pirámide pentagonal en cada una de sus 12 caras. En consecuencia, las 12 caras se extienden a pentagramas con el pentágono central dentro del sólido. La parte externa de cada cara consiste de cinco triángulos conectados por sólo cinco puntos. Si las contamos separadamente, hay 60 caras (pero estas son triángulos isósceles, no polígonos regulares). De modo similar, cada lado puede ser contado como tres, pero entonces los habrá de dos tipos. Igualmente, con los "cinco puntos" antes mencionados: en total habrá 20 puntos que pueden contarse como vértices, por lo que tendremos un total de 32 vértices (otra vez, de dos tipos). Ahora la ecuación de Euler se verifica: 60 - 90 + 32 = 2.