Teoría de campos de clase
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La Teoría de Campos de Clase es una rama de la Teoría de Números Algebraica que relaciona la aritmética de un campo numérico (o campo local) a sus extensiones de Galois.
Tradicionalmente comprendía el estudio de las extensiones abelianas, es decir, de las extensiones de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano, para este caso la teoría se desarrolló durante 1850-1930. Mientras que para el caso de las extensiones no abelianas, los primeros resultados importantes empezaron a obtenerse hace 25 años y forman parte del programa de Langlands.
Mucha de las investigación para el caso abeliano se centra en el famoso Jugendtraum de Kronecker que consistía en encontrar funciones capaces de generar la extensión abeliana maximal para cada campo numérico. Para el caso de Q, las funciones generadoras son las funciones ciclotómicas exp(iσ).
Sea K un campo numérico, el grupo de Galois de la extensión abeliana maximal es un grupo topológico compacto abeliano y tiene grado infinito sobre K. Cuando K es el campo de los números racionales éste grupo es un producto infinito del grupo aditivo de los enteros p-ádicos tomado sobre todo primo p, y de un producto infinito de grupos cíclicos finitos. La generalización de éste teorema debido a Kronecker fue resultado de un gran proyecto histórico que incluyó a las formas cuadráticas y su teoría de género, las leyes de reciprocidad, la teoría de ideales, extensiones ciclotómicas y de Kummer.
Iniciando con la tesis de Tate en los años cincuenta, todos los resultados fueron reescritos en téminos de la cohomología de grupos. Después hubo un periodo de quiescencia que fue bruscamente interrumpido en los sesentas por las conjeturas de Langlands.
