Teorema de Dirichlet

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Resultado de la teoría analítica de números demostrado por el matemático Johann Dirichlet.

Este teorema sobre la distribución de los números primos en $\mathbb{N}$ , fue conjeturado por Gauss y finalmente demostrado en 1837 por Johann Dirichlet, nombre por el que actualmente se le conoce.

[editar] Enunciado

Teorema: Sea $a, \, b \in \mathbb{N} \; / \; mcd(a, \; b) = 1$ , entonces...

la sucesión $a_n=a+b \cdot n$ contiene infinitos números primos.

[editar] Demostración

La prueba del teorema utiliza las propiedades de ciertas funciones multiplicativas (conocidas como funciones-L de Dirichlet) y varios resultados sobre aritmética de números complejos y es suficientemente compleja como para que algunos textos clásicos de teoría de números decidan excluirla de su repertorio de demostraciones. Para evitar hacer la lectura demasiado densa, en este artículo se han excluido de la demostración algunos corolarios intermedios que aparecen marcados como [AD]. La demostración completa, junto con los corolarios excluidos aquí, se puede encontrar en el artículo de González de la Hoz en la web de la UNED.

Definición: Sea $G$ un grupo conmutativo finito de orden $h$ y elemento unitario $e$ .

Un carácter sobre $G$ es una función UNIQb10f46b4de96e8a-math-0027DC18-QINU $\chi \neq 0, \;\chi(u \cdot v)=\chi(u) \cdot \chi(v) \; \forall u, v \in G$

Un carácter sobre $G$ tiene una serie de propiedades importantes para nuestra demostración:

i) Puesto que tanto la inversa de un carácter sobre

G

como el producto de dos carácteres sobre

G

es también un carácter sobre

G

, el conjunto de carácteres sobre

G

forma un grupo conmutativo con la multiplicación.

Esto permite definir el carácter principal del grupo

G

que se define como la función $\chi_0 \; / \; \chi_0(u)= 1 \; \forall u \in G$ . El carácter principal es por tanto el elemento unidad del grupo definido por el conjunto de carácteres sobre

G

ii) Como

χ(e) = 1

y dado que el orden de un elemento divide al orden del grupo, entonces $\forall u \in G \; (\chi(u))^h=\chi(u^h)=\chi(e)=1$ , lo que implica que $\mid \chi(u) \mid=1$ .

Puesto que el número de raíces del elemento unitario de orden

h

es como máximo

h

, el número de caracteres

c

es finito, siendo el valor

h h

una cota superior de

c

Por otra parte $\forall u \in G, \; u \ne e$ existe un carácter $\chi \; / \; \chi(u) \ne 1$ ([AD]). Por ello, y si se representa mediante

∑	a_χ
G

la suma del valor $a χ$ asociado a cada uno de los los diferentes carácteres del grupo $G$ , se tienen estas propiedades adicionales ([AD]):

iii) $\forall u \in G \mbox{ se tiene que: }$ $\sum_{G}\chi(u)= \begin{cases} c & si \; u = e \\ 0 & si \; u \neq e \end{cases}$ $\quad \mbox{ donde } c=\sum_{G}1$

iv) $\forall u \in G \mbox{ se tiene que: }$ $\sum_{u \in G}\chi(u)= \begin{cases} h & si \; \chi = \chi_0 \\ 0 & si \; \chi \neq \chi_0 \end{cases}$ $\quad \mbox{ donde } h \mbox{ es el orden de } G \mbox{ siendo } c = h$

v) $\forall u, v \in G \mbox{ se cumple que: }$ $\frac{1}{h}\sum_{\chi}\frac{\chi(u)}{\chi(v)}=\begin{cases} 1 & si \; u = v \\ 0 & si \; u \ne v \end{cases}$

vi) $\forall \chi_1, \chi_2 \in G \mbox{ se cumple que: }$ $\frac{1}{h}\sum_{u \in G}\frac{\chi_1(u)}{\chi_2(u)}=\begin{cases} 1 & si \; \chi_1 = \chi_2 \\ 0 & si \; \chi_1 \ne \chi_2 \end{cases}$

Dado un $q \in \mathbb{N}$ , se definen los caracteres $χ$ del grupo $G=Z^*_q$ definido como las clases de congruencia módulo $q$ de números coprimos con $q$ .

El grupo $G$ tiene $φ(q)$ elementos, y lo podemos representar por $G = {a 1, a 2, a 3,..., a φ(q)}$ donde los diferentes $a i$ son los representantes de la clase de congruencia que cumplen la condición $0 < a j < q$ , y en este contexto se definen las funciones extendidas de los caracteres $χ$ de $G$ de la siguiente manera:

$\chi(n)= \begin{cases} \chi(a_i) & si \; n \equiv a_i(mod \; q) \\ 0 & si \; mcd(n,q)>1 \end{cases}$

Estas funciones se denominan caracteres de Dirichlet módulo q y son completamente multiplicativas. Existen $φ(q)$ funciones de este tipo y una de ellas: $\chi_0(n)= \begin{cases} 1 & si \; n \equiv a_i(mod \; q) \\ 0 & si \; mcd(n,q)>1 \end{cases}$ se denomina carácter principal de Dirichlet.

Estos carácteres tienen algunas propiedades significativas (derivadas de las propiedades de los carácteres de un grupo que vimos antes):

(vii) $\sum_{n(mod\;q)}\chi(n)=\begin{cases} \phi(q) & si \; \chi = \chi_0 \\ 0 & si \; \chi \ne \chi_0 \end{cases}$

(viii) $\sum_{n(mod\;q)}\chi(u)=\begin{cases} \phi(q) & si \; u \equiv 1(mod\;q) \\ 0 & si \; u \ne 1(mod\;q) \end{cases}$

(ix) $\forall a \in \mathbb{N} \; / \;mcd(a,\;q)=1 \mbox{ se tiene que: }$ $\sum_{n(mod\;q)}\frac{\chi(u)}{\chi(a)}=\begin{cases} \phi(q) & si \; u = a \\ 0 & si \; u \ne a \end{cases}$

En este punto se debe introducir la siguiente

Definición: Una función-L de Dirichlet es una función de la forma.

$L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}$

donde UNIQb10f46b4de96e8a-math-0027DC4D-QINU y

χ

es un carácter de Dirichlet.

Los valores de $χ$ son periódicos, lo que implica que la serie $L(s,\,\chi)$ converge absolutamente para $\Re(s)>1$ y uniformemente para $\Re(s)>1+\varepsilon, \quad \forall \varepsilon>0.$

Además, como los coeficientes son completamente multiplicativos, la serie admite la siguiente expresión:

$L(s,\chi)=\prod_p \left ( 1 - \frac {\chi(p)}{p^s} \right )^{-1}$

Cuando $\Re(s)>1$ La función-L de Dirichlet tiene las siguientes propiedades ([AD]):

(i) $L(s,\chi) \neq 0$

(ii) $L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right )$

(iii) $\frac {L^\prime(s,\chi)}{L(s,\chi)}=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\chi(n)\Lambda(n)}{n^s}$

(iv) $\ln(L(s,\chi))=\sum_p{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \frac {(\chi(p))^m}{p^{m \cdot s}}}$

De la igualdad $L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right )$ y las propiedades de la función $ζ$ se deduce que la función $L (s,χ 0)$ es analítica en el semiplano complejo $\Re(s)>0$ a excepción de un polo en $s = 1$ , cuyo residuo es $\prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right )=\frac {\phi(q)}{q}$ .

Como consecuencia de esto, podemos afirmar que $L(s,\chi_0)=f(s)+\frac{\phi(q)/q}{s-1}$ , donde $f$ es analítica y no tiene singularidades en $\Re(s)>0$ , de modo que la función expresada por $\frac {L^\prime(s,\chi)}{L(s,\chi)}=\frac {f^\prime(s)-\frac{\phi(q)/q}{(s-1)^2}}{f(s)+\frac{\phi(q)/q}{s-1}}=\frac{(s-1)^2f^\prime(s)-\phi(q)/q}{(s-1)f(s)-\phi(q)/q}\frac{1}{s-1}$ tiene también un polo en $s = 1$ con residuo $- 1$ .

Por otra parte, toda función-L de Dirichlet $L (s,χ)$ con $\chi \neq \chi_0$ es analítica y no presenta singularidades en la zona $\Re(s)>0$ ([AD]).

Y para $k > 0$ se tiene ([AD]) que

$\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\sum_{n=a\pmod q}\frac{\Lambda(n)}{n^k}-O(1)$

lo cual también se puede expresar como

$\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=$ $\frac {-1}{\phi(q)} \cdot \frac {L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)} - \frac{1}{\phi(q)\chi(a)} \sum_{\begin{matrix}\chi\pmod q \\ \chi \neq \chi_0\end{matrix}}\frac {L^\prime(k,\chi)}{L(k,\chi)}-O(1)$

Esta expresión es clave para la demostración del teorema de Dirichlet, pues podemos concluir que el teorema es cierto si el primer término del segundo miembro diverge cuando los restantes términos permanecen dentro de unos límites. Como se cumple que $L(1,\chi) \neq 0$ cuando $\chi \neq \chi_0$ la siguiente expresión:

$\lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{1}{\phi(q)\chi(a)}\sum_{\begin{matrix}\chi\pmod q \\ \chi \neq \chi_0\end{matrix}}\frac {L^\prime(k,\chi)}{L(k,\chi)}=\frac{1}{\phi(q)\chi(1)}\sum_{\begin{matrix}\chi\pmod q \\ \chi \neq \chi_0\end{matrix}}\frac {L^\prime(1,\chi)}{L(1,\chi)}=O(2)$

obtiene un valor finito y, como vimos, dado que $\frac{1}{\chi_0(a)}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}$ tiene un polo en $s = 1$ con residuo $- 1$ se cumple que $\lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=-\infty$ lo que implica que

$\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p}=$ $\lim_{k \rightarrow 1^+}\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=$ $\frac {-1}{\phi(q)} \left ( \lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}+O(2) \right )+O(1)=$ $\infty$