Teorema fundamental del cálculo integral

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El teorema fundamental del cálculo integral consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada cálculo.

Una consecuencia directa de este teorema, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular la integral de una función utilizando la antiderivada de la función a ser integrada.

Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes ya contaban con métodos aproximados para el cálculo de volúmenes, áreas y longitudes curvas fue gracias a una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés Isaac Barrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz que este teorema pudo ser enunciado y demostrado.

Tabla de contenidos

1 Los teoremas fundamentales del cálculo integral
- 1.1 Primer teorema fundamental
- 1.2 Segundo teorema fundamental
2 Véase también
3 Enlaces externos

[editar] Los teoremas fundamentales del cálculo integral

[editar] Primer teorema fundamental

[editar] Declaración

Dada una función $f$ integrable sobre el intervalo $[a, b]$ , definimos $F$ sobre $[a, b]$ por $F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}$ con $\alpha \in [a,b]$ fijo. El teorema dice que si $f$ es continua en $c \in [a,b]$ , entonces $F$ es derivable en c y F'(c) = f(c).

[editar] Demostración

Lema importante

Sopongamos que $f$ es integrable sobre $[a, b]$ y que

$m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b]$

Entonces

$m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)$

Empezamos la demostración

Hipótesis:

Sea $c \in (a,b)$ .

Sea $f$ una función integrable sobre el intervalo

[a, b]

y continua en c.

Sea $F$ una función sobre

[a, b]

definida así: $F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt$ con $\alpha \in [a,b]$

Tésis:

F'(c)=f(c)

Por definición tenemos: $F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }$ .

Supongamos que h>0. Entonces $F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}$ .

Definimos $m h$ y $M h$ como:

$m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$ ,

$M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}$

Aplicando el 'lema' vemos que

$m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h$ .

Por lo tanto,

$m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h$

Ahora supongamos que $h < 0$ . Sean

${m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ ,

${M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}$ .

Aplicando el 'lema' vemos que

${m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h)$ .

Como

$F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}$ ,

entonces

${m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h$ .

Puesto que $h < 0$ , entonces tenemos que

${m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h$ .

Y como $f$ es continua en c tenemos que

$\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)$ ,

y esto nos lleva a que

$F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)$ .

[editar] Ejemplos

$F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2$

$H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} sen(t) dt \Rightarrow H'(x) = sen(e^{3x}) e^{3x} 3$

$G(x) = \int_{0}^{x^2} arcsen(t) dt \Rightarrow G'(x) = arcsen(x^2) 2x$

[editar] Segundo teorema fundamental

[editar] Declaración

También se le llama la Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Dada una función $f$ continua en el intervalo $[a, b]$ y sea $g (x)$ cualquier función primitiva de $f$ , es decir g'(x)=f(x), entonces:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)$