Unidades de Planck

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Las unidades de Planck o unidades naturales son un sistema de unidades propuesto por primera vez en 1899 por Max Planck. El sistema mide varias de las magnitudes fundamentales del universo: tiempo, longitud, masa, carga eléctrica y temperatura. El sistema se define haciendo que las 5 constantes físicas universales de la tabla tomen el valor 1 cuando se expresen ecuaciones y cálculos en dicho sistema.

El uso de este sistema de unidades trae consigo varias ventajas. La primera y obvia es que simplifica mucho la estructura de las ecuaciones físicas eliminando las constantes de proporcionalidad y haciendo que no dependan sus resultados del valor de estas. Por otra parte también se pueden comparar mucho más fácilmente las magnitudes de distintas unidades. Por ejemplo, dos protones se rechazan porque la repulsión electromagnética es mucho más fuerte que la atracción gravitatoria entre ellos. Esto se puede comparar al ver que los protones tienen una carga aproximadamente igual a una unidad natural de carga, pero su masa es mucho menor a la unidad natural de masa. Así mismo también permite evitar bastantes problemas de redondeo, sobre todo en computación. Tienen el inconveniente de que al usarlas es más difícil percatarse de los errores dimensionales. Son populares en el área de investigación de la relatividad general o la gravedad cuántica.

Las unidades Planck suelen llamarse (en broma) por los físicos como las "unidades de Dios". Esto elimina cualquier arbitrariedad antropocéntrica del sistema de unidades.

Tabla de contenidos

1 Expresión de leyes físicas en unidades Planck
2 Unidades Planck básicas
3 Unidades Planck Derivadas
4 Véase también

Constante	Símbolo	Dimensión
velocidad de la luz en el vacío	${ c } \$	L¹T^-1
Constante de gravitación	${ G } \$	M^-1L³T^-2
Constante reducida de Planck	$\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ donde ${h} \$ es la constante de Planck	ML²T^-1
Constante de fuerza de Coulomb	$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ donde ${ \epsilon_0 } \$ es la permitividad en el vacío	Q^-2 M ¹ L³ T^-2
Constante de Boltzmann	${ k } \$	ML²T^-2K^-1

[editar] Expresión de leyes físicas en unidades Planck

Ley de la gravitación universal de Newton

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

se convierte en

$F = \frac{m_1 m_2}{r^2}$ utilizando unidades Planck.

ecuación de Schrödinger

$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$

se convierte en

$- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$

La energía de una partícula o fotón con frecuencia radian ${ \omega } \$ en su función de onda

${ E = \hbar \omega} \$

se convierte en

${ E = \omega } \$ .

La famosa ecuación de masa-energía de Einstein

${ E = m c^2} \$

se convierte en

${ E = m } \$

(por ejemplo, un cuerpo con una masa de 5000 unidades Planck de masa tiene una energía intrínseca de 5000 unidades Planck de energía) y su forma completa

${ E^2 = (m c^2)^2 + (p c)^2} \$

se convierte en

${ E^2 = m^2 + p^2} \$

ecuación de campo de Einstein de la relatividad general

${ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \$

se convierte en

${ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \$ .

La unidad de temperatura se define para que el promedio de energía térmica cinética por partícula por grado de libertad de movimiento

${ E = \frac{1}{2} k T } \$

se convierta en

${ E = \frac{1}{2} T } \$

Ley de Coulomb

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

se convierte en

$F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ .

Ecuaciones de Maxwell

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

se convierten en

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

utilizando las unidades Planck. (Los factores $4 \pi \$ se pueden eliminar si $\epsilon_0 \$ se hubiera normalizado en vez de la constante de fuerza de Coulomb $1/(4 \pi \epsilon_0) \$ .)

[editar] Unidades Planck básicas

Al convertir el valor de las 5 constantes fundamentales a 1, las unidades para tiempo, longitud, masa, carga y temperatura se definen así:

Nombre	Dimensión	Expresión	Equivalente del SI aproximado
Tiempo Planck	Tiempo (T)	$t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}$	5.39121 × 10^-44 s
Longitud Planck	Longitud (L)	$l_P = c \ t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$	1.61624 × 10^-35 m
Masa Planck	Masa (M)	$m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$	2.17645 × 10^-8 kg
Carga Planck	Carga eléctrica (Q)	$q_P = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0}$	1.8755459 × 10^-18 C
Temperatura Planck	Temperatura (ML²T^-2/k)	$T_P = \frac{m_P c^2}{k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G k^2}}$	1.41679 × 10³² K

[editar] Unidades Planck Derivadas

Como en otros sistemas de unidades, las siguientes unidades de cantidades físicas se definen en base a las Unidades Planck base.

Nombre	Dimensión	Expresión	Equivalente del SI aproximado
Energía Planck	Energía (ML²T^-2)	$E_P = m_P c^2 = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}$	1.9561 × 10⁹ J
Fuerza Planck	Fuerza (MLT^-2)	$F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{c^4}{G}$	1.21027 × 10⁴⁴ N
Potencia Planck	Potencia (ML²T^-3)	$P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{c^5}{G}$	3.62831 × 10⁵² W
Densidad Planck	Densidad (ML^-3)	$\rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}$	5.15500 × 10⁹⁶ kg/m³
Frecuencia angular Planck	Frecuencia (T^-1)	$\omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}$	1.85487 × 10⁴³ rad/s
Presión Planck	Presión (ML^-1T^-2)	$p_P = \frac{F_P}{l_P^2} =\frac{c^7}{\hbar G^2}$	4.63309 × 10¹¹³ Pa
Corriente Planck	Corriente eléctrica (QT^-1)	$I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}}$	3.4789 × 10²⁵ A
Voltaje Planck	Voltaje (ML²T^-2Q^-1)	$V_P = \frac{E_P}{q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} }$	1.04295 × 10²⁷ V
Impedancia Planck	Resistencia (ML²T^-1Q^-2)	$Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}$	2.99792458 × 10¹ Ω