Variedad de Riemann

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En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en el cual cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales.

[editar] Producto interior

El producto interior en Rⁿ (el producto escalar euclidiano familiar) permite que se defina longitudes de vectores y los ángulos entre los vectores. Por ejemplo, si a y b son vectores en Rⁿ, entonces a² es la longitud al cuadrado del vector, y a * b determina el coseno del ángulo entre ellos (a * b = ||a|| ||b|| cos θ). El producto interior es un concepto del álgebra lineal que se puede definir para cualquier espacio vectorial. Desde el fibrado tangente de una variedad diferenciable (o de hecho, cualquier fibrado vectorial sobre una variedad) es, considerado punto a punto, un espacio vectorial, puede llevar también un producto interior. Si el producto interior en el espacio tangente de una variedad se define suavemente, entonces los conceptos que eran solamente punto a punto definido en cada espacio tangente se pueden integrar, para rendir nociones análogas en regiones finitas de la variedad. En este contexto, el espacio tangente se puede pensar como traslación infinitesimal en la variedad. Así, el producto interno en el espacio tangente da la longitud de una traslación infinitesimal. La integral de esta longitud da la longitud de una curva en la variedad. Para pasar de un concepto algebraico lineal a uno geométrico diferencial, el requisito de suavidad es importante, en muchos casos.

[editar] Propiedades

Cada subvariedad diferenciable de Rⁿ tiene una métrica de Riemann inducida: el producto interior en cada fibra tangente es la restricción del producto interno en Rⁿ. De hecho, como se sigue del teorema de inmersión de Nash, todos las variedades de Riemann se pueden considerar de esta manera. En particular uno podría definir la variedad de Riemann como un espacio métrico que es isométrico a una subvariedad diferenciable de Rⁿ con la métrica intrínseca inducida. Esta definición puede no ser teóricamente suficientemente flexible, pero es muy útil al construir las primeras intuiciones geométricas en la geometría de Riemann.

Una variedad de Riemann se define generalmente como variedad diferenciable con una sección diferenciable de formas cuadráticas positivo-definidas en el fibrado tangente. Entonces se tiene trabajo en demostrar que puede ser convertido en un espacio métrico:

Si γ: [a, b] → M es una curva continuamente diferenciable en la variedad de Riemann M, entonces se define su longitud L(γ) como

$L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\;dt$

(nótese que el γ'(t) es un elemento del espacio tangente a M en el punto γ(t); ||.||denota la norma resultante del producto interior dado en ese espacio tangente.)

Con esta definición de longitud, cada variedad de Riemann conexa M se convierte en un espacio métrico (e incluso un espacio métrico con longitud) de un modo natural: la distancia d(x, y) entre los puntos x y y en M se define como

d (x, y) = inf { L(γ): γ es una curva continuamente diferenciable que conecta a x y y }.

[editar] Líneas geodésicas

Artículo principal: geodésica

Aunque las variedades de Riemann son generalmente "curvas", no obstante, podemos encontrar que dados dos puntos diferentes y suficientemente cercanos existe una curva de longitud mínima (aunque esta no tiene porqué ser única). Estas líneas de mínima longitud se llaman líneas geodésicas y son una generalización del concepto "línea recta" o "línea de mínima longitud". Éstas son las curvas que localmente conectan sus puntos a lo largo de las trayectorias más cortas.

Así dada una curva γ:[a,b]→M contenida en una variedad riemanniana M, definimos la longitud de dicha curva L(γ) mediante el vector tangente a la misma y las componentes g_ij del tensor métrico g del siguiente modo:

$L(\gamma) = \int_{a}^b \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij}x'_i(t)x'_j(t)} \ dt$

Donde x_i(t) es la expresión paramétrica de los puntos de la curva parametrizada mediante el parámetro t. Usando los símbolos de Christoffel asociadas a la conexión sin torsión, la curva geodésica de mínima longitud que pasan por un punto x₀ y tiene el vector tangente v satisface la siguiente ecuación:

$\frac{d^2 x^\mu}{dt^2} + \sum_{\sigma,\nu} \Gamma_{\sigma \nu}^{\mu} \frac{dx^\sigma}{dt}\frac{dx^\nu}{dt} = 0$

Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse por métodos variacionales, concretamente podemos de las ecuaciones de Euler-Lagrange para un lagrangiano construido a partir de la forma cuadrática asociada al tensor métrico.