Viga

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Flexión de una viga simplemente apoyada.

En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo en el cual la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y que trabaja principalmente a flexión.

El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.

[editar] Teoría de vigas

Esquema de deformación de una viga que ilustra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernouilli: en la primera θ_i y dw/dx_i no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.

Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:

Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable.
Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical sólo depende de x: u_y(x, y) = w(x).
Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra sólo sufren desplazamiento vertical y giro: u_x(x, 0) = 0.
La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σ_yy= 0.
Hipótesis de Bernouilli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo planas al eje de la viga una vez curvado.

Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernouilli es una simplicación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es sólo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:

$u_x(x,y) = y\frac{dw}{dx} \qquad u_y(x,y) = w(x)$

[editar] Deformaciones y tensiones en vigas

Artículo principal: Pendientes y deformaciones en vigas

Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a:

$\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) = \frac{dw}{dx}$

A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke:

$\sigma_{xx} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} y\frac{d^2 w}{dx^2} \approx E y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \sigma_{xy} = 2G \frac{dw}{dx}$

Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young y G el módulo de elasticidad transversal.

[editar] Esfuerzos internos en vigas

A partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia puden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que está sometida una sección de una viga sometida a flexión simple en la teoría de Euler-Bernouilli:

$N_x = \int_\Sigma \sigma_{xx} dydz = 0 \qquad V_y = \int_\Sigma \sigma_{xy} dydz = 2GA \frac{dw}{dx} \qquad M_z = \int_\Sigma y\sigma_{xx} dydz = EI_z\frac{d^2 w}{dx^2}$

Donde: A área de la sección transversal, I_z el momento de inercia según el eje respecto al cual se produce la flexión. La última de estas ecuaciones es precisamente la ecuación de la curva elástica, una de las ecuaciones básicas de la teoría de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.

[editar] Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que internvienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones sólo se pueden cumplirse si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:

$\frac{\partial V_y(x)}{\partial x} = p_y(x) \qquad \frac{\partial M_z(x)}{\partial x} = V_y(x)$

[editar] Cálculo de tensiones en vigas

El cálculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variación de los esfuerzos internos y a partir de ellos aplicar la fórmula adecuada según la viga esté sometida a flexión (, torsión, esfuerzo normal o esfuerzo cortante. El tensor tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:

$[T]_{xyz} = \begin{bmatrix} \sigma & \tau_{y} & \tau_{z} \\ \tau_{y} & 0 & 0 \\ \tau_{z} & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Donde las tensiones pueden determinarse aproximadamente a partir de los esfuerzos internos: tensión:

$\sigma = \frac{N_x}{A} + \frac{M_yz}{I_y} - \frac{M_zy}{I_z} + f(M_x)$

$\tau_{y} = \tau_{y,cort} + \tau_{y,tor} \qquad \tau_{z} = \tau_{z,cort} + \tau_{z,tor}$

Las tensiones máximas sobre una sección transeversal cualquiera de la viga pueden a su vez ser calculadas en términos de estas componentes del tensor tensión:

$\sigma_{I} = \frac{\sigma}{2} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{4}+(\tau_y^2+\tau_z^2)} \qquad \sigma_{III} = \frac{\sigma}{2} - \sqrt{\frac{\sigma^2}{4}+(\tau_y^2+\tau_z^2)}$

$\sigma_{max} = \mbox{max} (|\sigma_{I}|,|\sigma_{III}|) \qquad \tau_{max} = \frac{\sigma_{I}-\sigma_{III}}{2}$

[editar] Materiales utilizados

Construcción de vigas de hormigón pretensado en Alcalá la Real, Jaén, España.

Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite desplazamientos.

A lo largo de la historia, las vigas se han realizado en diversos materiales, de los materiales tradicionales el más idóneo históricamente ha sido la madera, puesto que puede soportar esfuerzos de tracción de cierta consideración que no pueden soportar otros materiales tradicionales de tipo cerámicos como el barro o el ladrillo. La madera sin embargo es material ortotrópico que presenta diferentes rigideces y resistencias según los esfuerzos aplicados sean paralelos a la fibra de la madera o transversales a la misma. Por esa razón, el cálculo moderno de elementos de madera requiere bajo solicitaciones complejas una teoría más compleja que la teoría de Navier-Bernouilli anteriormente expuesta.

Más modernamente, las vigas se fabricaron en acero. El acero es un material isótropo al que puede aplicarse directamente la teoría de vigas de Euler-Bernouilli. El acero tiene la ventaja de ser un material con una relación resistencia/peso inferior a la del hormigón, además de que puede resistir tanto tracciones como compresiones.

También modernamente a partir de la segunda mitad del siglo XIX en arquitectura, se ha venido usando hormigón armado y algo más tardíamente el pretensado y el postensado. Estos materiales requieren para su cálculo una teoría más compleja que la teoría de Euler-Bernouilli anteriormente expuesta.