Abeli rühm
Abeli rühmaks (Niels Henrik Abeli järgi) ehk kommutatiivseks rühmaks nimetatakse matemaatikas rühma G, mille korrutamistehe * on kommutatiivne, st
- a * b = b * a iga
korral.
Näiteks positiivsed reaalarvud moodustavad arvude korrutamise suhtes Abeli rühma. See rühm on isomorfne kõikide reaalarvude rühmaga, milles rühma korrutamistehteks on arvude liitmine.
[redigeeri] Aditiivne ja multiplikatiivne tähistus
Tavaliselt kasutatakse Abeli rühmade puhul aditiivset tähistust: rühma korrutamistehe on +, ühikelement on 0 ja elemendi a pöördelement on –a.
| Tähistus | Tehe | Ühikelement | Astmed | Pöördelement | Otsesumma/otsekorrutis |
|---|---|---|---|---|---|
| Liitmine | a + b | 0 | na | −a | G ⊕ H |
| Korrutamine | a * b ehk ab | e ehk 1 | an | a−1 | G × H |
[redigeeri] Näiteid
Mis tahes tsükliline rühm G on Abeli rühm, sest kui x ja y on rühma G elemendid, siis xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. Seetõttu on ka rühm Z (täisarvude rühm liitmise suhtes) ja Z/nZ (jäägiklasside rühm modulo n liitmise suhtes) Abeli rühmad.
Reaalarvud moodustavad liitmise suhtes Abeli tühma; nullist erinevad reaalarvud moodustavad korrutamise suhtes Abeli rühma. Ühikelemendiga kommutatiivses assotsiatiivses ringis võib ka üldjuhul välja tuua kaks Abeli rühma: kõikide elementide aditiivne rühm ja pööratavate elementide multiplikatiivne rühm.
Abeli rühmal on kõik alamrühmad normaalsed (normaaljagajad), nii et nende järgi saab moodustada faktorrühmi.
Abeli rühmade alamrühmad, faktorrühmad, korrutised ja otsesummad on jälle Abeli rühmad.
