Lukujärjestelmä

Wikipedia

Lukujärjestelmä tarkoittaa tapaa, jolla numeroista koostetaan lukuja. Kantaluku kertoo, kuinka monta eri numeroa lukujärjestelmän luvuissa voi esiintyä. Esimerkiksi kymmenjärjestelmässä on luvut 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Käytettävä lukujärjestelmä ilmoitetaan usein alaindeksillä tai muulla tunnuksella. (5₁₀ = 101₂ = 101b)

[muokkaa] Lukujärjestelmiä

Länsimaissa käytetään yleisesti ns. arabialaisia numeroita järjestelmässä, jonka kantaluku on 10. Myös muunlaisia järjestelmiä on ollut ja on vieläkin käytössä eri sovellusalueilla.

Tietotekniikassa käytetään usein 2-kantajärjestelmää eli binäärijärjestelmää (numeroina 0, 1), heksadesimaalijärjestelmää (numeroina 0-9 sekä A, B, C, D, E ja F) ja oktaalijärjestelmää (numeroina 0-7).

Muinaiset babylonialaiset käyttivät 60-järjestelmää (ns. seksagesimaalijärjestelmä), josta on peräisin mm. tunnin jakaminen 60 minuuttiin ja minuutin jakaminen 60 sekuntiin.

Senaarijärjestelmä perustuu kantalukuun 6. Kantauralin kielen puhujat saattoivat käyttää senaarijärjestelmää. Oletus perustuu siihen, ettei uralilaisissa kielissä ole kuutta suurempia lukuja kuin lainoina; esimerkiksi suomen seitsemän on laina. Suomen sanat kahdeksan ja yhdeksän kuitenkin viittaavat päinvastaiseen; *teksa vastaisi indoeurooppalaista sanaa deka "kymmenen", joten kak+teksa "kahdeksan" olisi '10–2' ja yk+teksä "yhdeksän" olisi '10–1'.

On mahdollista rakentaa myös muihin kuin kokonaislukuihin perustuvia lukujärjestelmiä. Esimerkiksi piin potenssisarjalle (n₀ + n₁π + n₂π² + ...) perustuva lukujärjestelmä pystyy merkitsemään täsmällisesti joidenkin irrationaalisten funktioiden arvoja.

[muokkaa] Muuntaminen lukujärjestelmästä toiseen

Huomautus: x⁰ = 1 eli mikä tahansa luku (x ei saa olla 0) korotettuna nollanteen potenssiin on yksi.

10-järjestelmässä lukujen painoarvo menee seuraavasti (10:llä jaolliset painoarvot): .... 1000, 100, 10, 1 .... esimerkiksi

154₁₀ = 1·10² + 5·10¹ + 4·10⁰

Heksadesimaalijärjestelmässä taas on heksadesimaaliluvulla 10₁₆ jaolliset painoarvot (eli 16₁₀-jaolliset): .... 4096, 256, 16, 1. Esimerkiksi

4F07₁₆ = 4·16³ + 15·16² + 0·16¹ + 7·16⁰ (eli 4₁₆ · 1000₁₆ + F₁₆ · 100₁₆ + 0₁₆ · 10₁₆ + 7₁₆ · 0₁₆)

Näin ollen esimerkiksi jos muutamme luvun 1024₁₀ hexadesimaaliluvuksi, voimme käsitellä sitä seuraavasti: Katsomme suurimman painoarvoluvun joka on silti pienempi kuin 1024, tässä tapauksessa 256. Kerromme sen niin suurella luvulla kuin mahdollista, että se ei silti ylitä tavoittelemaamme lukua. saadaan luku 4.

eli siis 1024₁₀ = 4·256₁₀.

Heksadesimaalilukuna 256₁₀ = 100₁₆ joten 4·100₁₆ = 400₁₆ joka on tavoittelemamme luku.

Toisena esimerkkinä voidaan ottaa luku 7386₁₀. se on 1·16³ + 12·16² + 13·16¹ + 10·16⁰ Tästä saadaan siis luku 1CDA₁₆

[muokkaa] Eri lukujärjestelmillä laskeminen

Kantaluvusta riippumatta luvuilla "yksi nolla" (10) kertominen ja jakaminen on äärimmäisen helppoa. esimerkiksi

Heksadesimaaliluvuilla: 24₁₆ · 10₁₆ = 240₁₆ (36₁₀ * 16₁₀ = 576₁₀)
Binääriluvulla: 110b · 100b = 11000b (6₁₀ · 4₁₀ = 24₁₀)

Yhteen- ja vähennyslaskutkaan eivät ylitsepääsemättömiä ole. Kyseessä on vain tottumuskysymys. Periaatteessa yhteenlasku on aivan yhtä yksinkertaista erikantaisilla luvuilla. Ihminen on vain tottunut käyttämään 10-järjestelmää.

Numerojärjestelmät

Lukujärjestelmät

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../l/u/k/Lukuj%C3%A4rjestelm%C3%A4.html

Luokka: Lukujärjestelmät