Poincarén otaksuma
Wikipedia
Poincarén otaksuman mukaan jokainen yhtenäinen n-monisto on homeomorfinen n-pallon kanssa. Väitteen todisti Perelman vuonna 2002 erikoistapauksena Thurstonin geometrisointiotaksumasta.
[muokkaa] Historiaa
Tapaukset n=0 tai n=1 ovat triviaaleja, n=2 on klassinen, n=3 Perelmanin todistama, n=4 todisti Freedman vuonna 1982 (ja sai todistuksestaan vuoden 1986 Fieldsin mitalin), n=5 todisti Zeeman vuonna 1961, n=6 todisti Stalling vuonna 1962 ja tapaukset n>6 Smale vuonna 1961. Smale onnistui kuitenkin myöhemmin löytämään uuden todistuksen tapauksille n>4.
Poincarén otaksuma kuuluu niin sanottuun Clay-Instituutin miljoonan dollarin ongelmiin. Instituutti nimittäin lupasi ensimmäisestä oikeasta todistuksesta tai vastaesimerkistä miljoona Yhdysvaltain dollaria. Huhtikuussa 2002 Dunwoody esitti lauseelle lupaavan oloisen todistusyrityksen, josta löytyi kuitenkin virhe. Perelman onnistui kuitenkin todistuksessaan, ja nykyään Perelmanin todistusta pidetään oikeana. Matematiikassa on kuitenkin tapana tutkia huolella ja kauan kuuluisten ongelmien lupaavilta tuntuvia ratkaisuyrityksiä.
Poincarén otaksumasta saattaa tulla ensimmäinen ratkaistu Millennium-ongelma. Loppuvuodesta 2002 Grigori Perelmanin Steklovin matematiikan instituutista huhuttiin löytäneen todistuksen. Hänen otaksuttiin todistaneen myös yleisempi otaksuma, Thurstonin geometrisointiotaksuma, joka näin ollen viimeistelisi Richard Hamiltonin alulle paneman työn. Vuonna 2003 Perelman teki aiheesta julkaisun ja antoi aiheesta sarjan luentoja Yhdysvalloissa. Useiden vuosien ja matemaatikkojen yhteistyön ansiosta matemaatikot totesivat Perelmanin todistuksen oikeaksi. Kesäkuussa 2006 Asian Journal of Mathematics julkaisi Cao Huaidongin (Lehighin yliopisto, Pennsylvania) ja Zhu Xipingin (Zhongshanin yliopisto, Kiina) paperin, jossa oli täydennetty Perelmanin tuloksia. Julkaisun on varmistanut oikeaksi muun muassa Fieldsin mitalisti Shing-Tung Yau.
