Poissonin prosessi
Wikipedia
 |
Tämä artikkeli sisältää päällekkäistä tietoa artikkelin Poisson-prosessi kanssa, ja ne pitäisi yhdistää. |
 |
Tämän artikkelin puuttuvaa tai huonosti laadittua määritelmää on pyydetty parannettavaksi. |
| Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. |
 |
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä tai viitteitä. |
| Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. |
Tutkitaan peräkkäisten tapahtumien lukumääriä, kun tapahtumasta toiseen kulunut aika vaihtelee satunnaisesti. Tässä peräkkäisten toistojen välit noudattavat eksponenttijakaumaa jonka odotusarvo olkoon a. Tapahtumien lukumäärän kertymää N(t) ajan hetkeen t mennessä sanotaan Poissonin prosessiksi.
Poissonin prosessia voidaan käyttää mallintamaan esimerkiksi liikenneonnettomuuksien lukumäärää jollakin alueella, asiakkaiden saapumista palvelupisteeseen tai yrityksen puhelinkeskukseen tulevien puheluiden ruuhkautumista.
Todennäköisyys että ajan hetkeen t mennessä on sattunut täsmälleen n tapahtumaa voidaan laskea kaavasta:
P[N(t)=n] = [(at)n/(n!)]e-at
Konkretisoidaan hiukan sekä tilannetta että kaavaan johtavaa menettelyä: Olkoot T(1) ensimmäisen tapahtuman odotusaika, eli aika alkuhetkestä 0 ensimmäiseen tapahtumaan, T(2) aika ensimmäisestä tapahtumasta toiseen jne siten että T(n) on aika tapahtumasta numero n-1 tapahtumaaan numero n. Merkitään lisäksi T(0)= 0. Odotusajat T(n) (n>0) ovat toisistaan riippumattomia ja noudattavat eksponenttijakaumaa Exp(a). Päällekkäisten tapahtumien välttämiseksi oletetaan että T(n)>0 kaikille muille paitsi T(0):lle.
Olkoon S(n)= T(1)+T(2)+...+T(n) eli aika mikä on kulunut sihen että tapahtuma on tapahtunut n kertaa. Tällöin S(n) on korkeintaan t silloin kun N(t) on vähintään n. Tapauksessa N(t)=n ajankohta t on puoliavoimella välillä [S(n),S(n+1)[.
Odotusaikojen summa S(n) koostuu yhteenlasketuista eksponenttijakaumista. Kunkin jakauman odotusarvo on a. Silloin S(n) noudattaa Gamma(n,a)-jakaumaa (gammajakauma). Gamma(n,a)-jakauman kertymäfunktiota käyttäen päädytään edellä esitettyyn todennäköisyyteen P[N(t)=n].
