Schanuelin konjektuuri
Wikipedia
Schanuelin otaksuma on seuraava transkendenttisten lukujen teoriaan liittyvä avoin ongelma:
- Olkoon annettu n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta kompleksilukua z1,...,zn. Tällöin kuntalaajennuksella Q(z1,...,zn,exp(z1),...,exp(zn)) on transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n.
Otaksuman esitti Stephen Schanuel 1960-luvulla ja se löytyy esimerkisi Serge Langin kirjasta [1]. Otaksumaa ei ole kyetty ratkaisemaan tai osoittamaan epätodeksi.
Jos otaksuma pitää paikkaansa, siitä seuraa muun muassa Lindemannin–Weierstrassin lause, Gelfondin–Schneiderin lause ja useita muita eksponenttifunktioita koskevia trankendenttisia ominaisuuksia, kuten esimerkiksi lukujen π ja e algebrallinen riippumattomuus.
Scott W. Williams [2] on formuloinut seuraavan käänteisen Schanuelin otaksuman:
- Olkoon F numeroituva kunta, jonka karakteristika on nolla ja e : F → F on homomorfismi additiiviselta ryhmältä (F,+) multiplikatiiviselle ryhmälle (F,·), jonka ydin on syklinen. Oletetaan edelleen, että mitkä tahansa n F:n alkiota x1,...,xn ovat lineaarisesti riippumattomia Q:n suhteen ja Q:n laajennuksen Q(x1,...,xn,e(x1),...,e(xn)) transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n. Tällöin on olemassa kuntahomomorfismi h : E → C jolle h(e(x))=exp(h(x)) kaikilla F:n alkioilla x.
Schanuelin otaksuman potenssisarjoille todisti James Ax vuonna 1971.[3] Sen mukaan:
- Olkoon annettu mitkä tahansa n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta potenssisarjaa f1,...,fn in tC[[t]]:ssä. Tällöin C(t):n laajennuksen C(t,f1,...,fn,exp(f1),...,exp(fn)) transkendenttinen aste C(t):n suhteen on vähintään n.
[muokkaa] Viitteet
- ↑ Serge Lang. Introduction to Transcendental Numbers. Addison-Wesley 1966, sivut 30-31
- ↑ Million Bucks Problems
- ↑ James Ax. On Schanuel's conjectures. Annals of Mathematics (2) 93, 1971, sivut 252-268.
