Composition de fonctions

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En mathématiques, une fonction composée, formée par la composition de deux fonctions, représente l'application de la première fonction au résultat de l'application de la seconde (à l'argument choisi).

Les deux fonctions f: X → Y et g: Y → Z peuvent être composées en appliquant f à l'argument x, puis en appliquant g au résultat. On obtient ainsi la fonction g o f: X → Z définie par (g o f)(x) = g(f(x)) pour tout x de l'ensemble X.

La notation g o f se lit « g rond f », ou « g suivie de f ». (g o f)(x) se note aussi g o f(x).

Sommaire

1 Règles pour la composition de fonctions
- 1.1 Exemple d'incompatibilité des domaines
2 Propriétés
3 Puissances fonctionnelles
4 Autres notations
5 Voir aussi

[modifier] Règles pour la composition de fonctions

La composition de fonctions n'est valable que si les domaines de définition des fonctions sont compatibles.

Soient $f:\mathbb I \rightarrow \mathbb J$ et $g:\mathbb K \rightarrow \mathbb L$ deux fonctions, alors $f \circ g$ est toujours définie si et seulement si $\mathbb K \subseteq \mathbb J$ (l'ensemble d'arrivée de la fonction g est compris dans l'ensemble de départ de la fonction f).

[modifier] Exemple d'incompatibilité des domaines

Soient les deux fonctions :

$f: \begin{matrix} \mathbb R^+ & \rightarrow & \mathbb R^+ \\ x & \rightarrow & \sqrt{x} \end{matrix}$

$g: \begin{matrix} \mathbb R & \rightarrow & \mathbb R \\ x & \rightarrow & -x \end{matrix}$

la fonction $f \circ g$ est définie uniquement sur le domaine $\mathbb R^-$ .

[modifier] Propriétés

La composition de fonctions n'est généralement pas commutative :

$f \circ g \ne g \circ f$

La composition de fonctions est associative :

$f \circ ( g \circ h ) = ( f \circ g ) \circ h$

La composition de fonctions n'est pas distributive (sur un opérateur quelconque $\star$ ) :

$f \circ (g \star h) \ne (f \circ g) \star (f \circ h)$

Continuité : si la fonction g est continue en $x_0\,$ et la fonction f est continue en $g(x_0)\,$ alors $f \circ g$ est continue en $x_0\,$ .

Composition de deux fonctions f et g strictement monotones :
- si f et g ont même sens de variation, leur composée est strictement croissante;
- si f et g ont des sens de variation différents, leur composée est strictement décroissante.

Dérivée d'une composition de fonctions dérivables :

$(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'$

[modifier] Puissances fonctionnelles

Si Y⊂X alors f peut être composée avec elle-même; et la composée est notée f². Ainsi

$\forall x\in X, (f\circ f)(x) = f(f(x)) = f ^2(x)$

$\forall x\in X, (f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f ^3(x)$

Pour tout entier naturel n, la puissance n-ième de f est définie par $f\circ f^n =f^n \circ f =f^{n+1}$ et $f^0=\operatorname{Id}_X$ .

Une extension de cette notation avec des exposants entiers négatifs peut être définie, à condition de supposer la fonction bijective de X sur X. f^-1 désigne l'application réciproque et pour tout entier n strictement négatif fⁿ, est la composée de f^-1 par elle-même -n fois.

Ne pas confondre cette notation avec la puissance d'une fonction pour la multiplication des applications. Par exemple sin² est la fonction sin×sin qui vérifie pour tous réels x, sin²(x) = sin(x)×sin(x). Il y a aussi une confusion possible entre l'inverse d'une fonction pour la multiplication et l'application réciproque.

[modifier] Autres notations

Au milieu du XX^e siècle, quelques mathématiciens qui trouvaient que la notation g _o f portait à confusion décidèrent d'utiliser xf pour f(x) et xfg pour g(f(x)). Ils ne furent pas suivis et cette notation ne se rencontre que dans certains vieux livres.

[modifier] Voir aussi

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[modifier] Règles pour la composition de fonctions

[modifier] Exemple d'incompatibilité des domaines

[modifier] Propriétés

[modifier] Puissances fonctionnelles

[modifier] Autres notations

[modifier] Voir aussi

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