Construction des anneaux de polynômes

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Construction des objets courants

Polynômes

Compactifié d'Alexandroff

Construction du complété d'un espace

Le but de cet article est de montrer comment on obtient l'anneau des polynômes à une variable sur un anneau.

Sommaire

1 Préliminaires
2 Définition de l'ensemble
3 Définition de la structure d'anneau
4 Définition de la structure d'algèbre
5 Division euclidienne à droite (resp. à gauche)
6 Valeur à droite (resp. à gauche) d'un polynôme pour un élément de l'anneau
7 Divisions par x.1 -u (1: unité de l'anneau)

[modifier] Préliminaires

On va se donner un anneau $\mathbb A$ , que l'on va supposer commutatif et unitaire.

On va construire :

l'ensemble $\mathbb A[X]$ ;
une structure d'anneau commutatif unitaire sur cet ensemble ;
une structure de $\mathbb A$ -algèbre.

On va prouver:

l'existence et l'unicité de la division euclidienne à droite (resp. à gauche).

[modifier] Définition de l'ensemble

On va considérer les suites d'éléments de $\mathbb A$ , stationnaires à $0$ . Cet ensemble peut-être vu comme la partie de l'ensemble $\mathbb A^\mathbb N$ définie ainsi :

$\left\{ (a_n)_n\in \mathbb A^\mathbb N/\exists N\geq0/\forall n\geq N, a_n=0 \right\}$

C'est notre ensemble $\mathbb A[X]$ .

[modifier] Définition de la structure d'anneau

Commençons par définir ce mystérieux $X$ : il s'agit de la suite nulle partout, sauf en $1$ où elle vaut $1$ . On note par ailleurs que l'on peut envoyer $\mathbb A$ dans $\mathbb A[X]$ tout simplement en considérant la fonction qui en $0$ vaut l'élément considéré, et est nulle partout ailleurs.

Pour définir la structure de groupe sur $\mathbb A[X]$ , on se contente de reprendre la structure héritée naturellement par le fait que ce sont des suites à valeurs dans un anneau : $(a + b) n = (a) n + (b) n$ . L'élément neutre est la suite $(0)$ .

La structure multiplicative est un peu plus délicate ; en fait, pour connaître la formule, il faut déjà savoir de quoi on souhaite parler :

(a * b)_n =	∑	a_kb_l
	k + l = n

le fait que cette formule donne bien une loi de composition interne associative et commutative, dont le polynôme $1$ est élément neutre, ainsi que la propriété de distributivité par rapport à l'addition définie précédemment ; tout ceci est facile à vérifier.

Et avec cette addition et cette multiplication, il est clair que l'on a bien une structure d'anneau.

[modifier] Définition de la structure d'algèbre

L'espace $\mathbb A^\mathbb N$ est muni d'une structure naturelle de module ; il est clair que cette structure est compatible avec l'addition (puisque c'est la même addition !), et il n'est pas difficile de voir qu'elle est aussi compatible avec le produit. Ce qui montre que l'anneau $\mathbb A[X]$ defini précédemment est en fait une $\mathbb A$ -algèbre !

Il reste à remarque que $X n$ est la suite nulle partout sauf en $n$ , où elle vaut $1$ ; en particulier, tout polynôme $P = (a n) n$ s'écrit donc de façon unique : :

P =	∑	a_nXⁿ
	n

On retrouve là l'écriture habituelle des polynômes.

[modifier] Division euclidienne à droite (resp. à gauche)

On se donne deux polynômes $P$ et $U$ . On ne fait pas d'hypothèse sur le premier, mais on demande que le coefficient dominant du second soit inversible.

On souhaite prouver qu'il existe un unique couple de polynômes $Q$ et $R$ réunissant les deux conditions suivantes :

$\quad P=UQ+R$ ;
$\quad deg(R)<deg(U)$ .

$Q$ sera le quotient et $R$ le reste dans la division à droite. On dira aussi que Q est le quotient à droite et R le reste à droite.

Si R=0 on dira naturellement que P est divisible à droite par U.

De manière symétrique on désignera par quotient à gauche et reste à gauche les polynômes Q ' et R ' vérifiant :

$\quad P=Q'U+R'$ ;
$\quad deg(R')<deg(U)$ .

et si R'=0, P sera dit divisible à gauche par U.

Il est évident que ces 2 notions coïncident dans le cas d'un anneau commutatif. Nous ferons la démonstration de l'unicité et de l'existence du quotient et du reste dans le premier cas seulement, l'adaptation au second cas ne posant aucune difficulté.

[modifier] Unicité

Supposons que l'on a deux couples $(Q 1, R 1)$ et $(Q 2, R 2)$ qui vérifient les conditions requises ; on a alors, en calculant $P - P$ : $U (Q 1 - Q 2) = R 2 - R 1$ .

Mais si on compare les degrés des polynômes dans les membre gauche et droit de cette égalité, on doit alors clairement avoir: $R 1 = R 2$ et $U (Q 1 - Q 2) = 0$ . Donc on a déjà l'unicité du reste.

Ce serait alors une erreur de conclure que l'on a aussi $Q 1 = Q 2$ car $U\neq0$ ; car on n'a aucune garantie que l'on se trouve dans un anneau intègre ! En revanche, on sait que le coefficient dominant de $U$ est inversible, et c'est cette remarque qui permet de conclure à l'unicité du quotient !

Exemple : dans $\mathbb Z/6\mathbb Z[X]$ , le produit de $2 X$ par $3 X 2$ est nul.

[modifier] Existence

On la montre par récurrence sur le degré du polynôme $P$ :

si ce degré est plus petit que le degré de $U$ , il suffit de prendre $Q = 0$ et $R = P$ ;
s'il est supérieur ou égal, notons $a$ le coefficient dominant de $P$ , et $b$ celui de $U$ ; alors si on regarde le polynôme $P - a b - 1 U X d e g P - d e g U$ , on voit qu'il est de degré strictement inférieur à celui de $P$ , donc par hypothèse de récurrence, il s'écrit $Q 2 U + R 2$ ; mais alors

P = (Q 2 + a b - 1 X d e g P - d e g U) U + R 2

[modifier] Remarques

Pour l'unicité, on aurait pu supposer que le coefficient dominant de $U$ n'était que régulier; en revanche pour l'existence, on a visiblement besoin de cette inversibilité. Il n'est pas difficile de se convaincre qu'elle était nécessaire...
L'unicité est traitée en premier, car sans le dire, c'est elle qui pointe vers l'existence: elle utilise la notion de degré d'un polynôme, donc c'est ainsi qu'il fallait attaquer l'existence.

[modifier] Valeur à droite (resp. à gauche) d'un polynôme pour un élément de l'anneau

Soient $P\in \mathbb{A}[X]$ et $u\in \mathbb{A}$ . Posons

$\quad P(x)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+...+a_1X+a_0$

Nous désignons par valeur à droite de $P$ pour $X = u$ l'élément de $\mathbb{A}$ :

$\quad P_d(u)=a_nu^n+a_{n-1}u^{n-1}+...+a_1u+a_0$

De même la valeur à gauche sera :

$\quad P_g(u)=u^na_n+u^{n-1}a_{n-1}+...+ua_1+a_0$

[modifier] Divisions par x.1 -u (1: unité de l'anneau)

Comme 1 est évidemment inversible (!) les divisions à droite et à gauches sont possibles. Soient $P \in \mathbb{A}[X]$ et $u \in \mathbb{A}$ . On a alors:

[modifier] Théorème: Le reste de la division à gauche du polynôme P par xI - u est égal à la valeur à droite $P d (u)$ .

Démonstration

Posons $\quad Q_g(X)=b_{n-1}X^{n-1}+...+b_1X+b_0$

On a $P = Q g .(X .1 - u) + R g$ et en groupant les termes semblables du second membre:

$\quad P(X)= b_{n-1}X^n+(b_{n-2}-b_{n-1}u)X^{n-1}+...(b_0-b_1u)X-b_0u + R_g$

Si on remplace alors X par u dans le membre de droite (ce qui est bien le calcul de la valeur à droite) on constate immédiatement que les termes provenant du produit $Q g (X .1 - u)$ s'annulent 2 à 2 et on obtient le résultat annoncé.

On a évidemment le résultat symétrique:

[modifier] Le reste de la division à droite du polynôme P par xI - u est égal à la valeur à gauche $P g (u)$ .

[modifier] Corollaire: Le polynôme P est divisible à gauche par xI - u si et seulement si $P d (u) = 0$

et bien entendu:

[modifier] Le polynôme P est divisible à droite par xI - u si et seulement si $P g (u) = 0$

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