Drapeau (mathématiques)

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Un drapeau de l'espace vectoriel de dimension finie E est une famille de sous espaces successifs de E, inclus les uns dans les autres, et dont les dimensions augmentent de 1 en 1.

Formellement, si $E \,$ est de dimension $n \,$ il s'agit d'une famille $(E_{i})_{0 \leq i \leq n} \,$ de n+1 sous-espaces vectoriels de $E \,$ telle que:

$\forall i \in \{ 0, \dots n \} , \, dim (E_{i})=i$
$\{ 0 \} = E_{0} \subset E_{1} \subset \dots \subset E_{n-1} \subset E_{n} = E$

Exemple : si E est l'espace $\R_n[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à n, les espaces $\R_s[X]$ successifs pour i allant de 0 à n constituent un drapeau de E.

Sommaire

1 Base adaptée à un drapeau
2 Drapeau stable par un endomorphisme
3 Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux
4 Les drapeaux dans le cadre euclidien

[modifier] Base adaptée à un drapeau

A toute base $(e_1,\ldots,e_n)$ de l'espace E de dimension finie est associé un drapeau constitué des espaces successivement engendrés : $E_1={\mathrm Vect}(e_1), E_2={\mathrm Vect}(e_1,e_2),\ldots$ .

Réciproquement, un drapeau possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs $e i$ ainsi : $e i$ appartient à $E i$ mais pas à $E i - 1$ .

[modifier] Drapeau stable par un endomorphisme

Si $u \,$ est un endomorphisme de $E \,$ , alors on dit que le drapeau est stable par $u \,$ si $\forall i \in \{ 1, \dots n \} , \, u(E_{i}) \subset E_{i}$ .

Par exemple si on reprend pour E l'espace $\R_n[X]$ et le drapeau formé des espaces $\R_s[X]$ successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X+1)), etc.

[modifier] Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit $u \,$ un endomorphisme de $E \,$ , espace vectoriel toujours supposé de dimension n. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes:

$u \,$ es trigonalisable.
Il existe un drapeau de $E \,$ stable par $u \,$ . (ou un drapeau $u \,$ -stable)

[modifier] Les drapeaux dans le cadre euclidien

L'espace est de dimension finie et, en outre, muni d'un produit scalaire. Le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé en base orthonormale.

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