Ensemble inductif
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Vous avez de En un sens précisé ci-dessous, un ensemble partiellement ordonné est inductif si toute partie « au moins totalement ordonnée » admet un « majorant ou mieux ». Les candidats usuels pour préciser « au moins totalement ordonnée » sont
- 1) totalement ordonnée
- 2) bien ordonnée
tandis que ceux pour « majorant ou mieux » sont
- 3) majorant
- 4) borne supérieure
d'où quatre définitions voisines mais distinctes, la moins restrictive correspondant à (2,3) et la plus restrictive à (1,4). Comme l'acception de loin la plus courante correspond au cas du couple (1,3), nous prenons comme définition
- Un ensemble inductif est un ensemble partiellement ordonné où toute chaîne (partie totalement ordonnée) admet un majorant.
De temps à autre c'est la définition la plus restrictive qui est utile, d'où la définition
- Un ensemble inductif est dit strict si et seulement si toute chaîne non-vide admet une borne supérieure.
Enfin, c'est la définition la moins restrictive qui donne le meilleur énoncé du lemme de Zorn.
Exemples :
- L'ensemble des parties d'un ensemble E, muni de l'inclusion est un ensemble inductif : en effet, E majore toutes ses parties.
- En informatique théorique, les CPO sont des ensembles inductifs stricts.
Voir aussi :
