Fonction continue

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Fonction continue est un terme utilisé en mathématiques

Sommaire

1 Définition mathématiques
2 Voir aussi

[modifier] Définition mathématiques

[modifier] Fonction continue en un point

Soient $I$ un intervalle de $\mathbb R$ , $f$ une application de $I$ dans $\mathbb R$ , et $x 0$ un point de $I$ . On dit que $f$ est continue en $x 0$ si et seulement si

$\forall \varepsilon >0,\,\exists \eta>0,\,x\in\,]x_0-\eta,x_0+\eta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \varepsilon$

Si $f$ est continue en $x 0$ , alors $\lim_{ x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ . Si cela est vrai uniquement à droite (pour $x > x 0$ ), on dit que $f$ est continue à droite en $x 0$ . De même à gauche pour $x < x 0$ .
Dire que $f$ est continue en $x 0$ revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en $x 0$ .

[modifier] Continuité sur un intervalle

On dit que $f$ est continue sur $[a, b]$ si elle est continue en tout point de $[a, b]$ , autrement dit si

$\forall x\in[a,b],\,\forall \varepsilon >0,\,\exists \eta>0,\,y\in\,]x-\eta,x+\eta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le \varepsilon$ ce qui équivaut à

- $f$ est continue sur $] a; b [$
- la limite à droite de $f$ lorsque $x \to a$ vaut $f (a)$ et la limite à gauche de $f$ lorsque $x \to b$ vaut $f (b)$ .

[modifier] Dérivabilité et continuité

Toute fonction dérivable en un point ou sur un intervalle est également continue sur cet intervalle.
La réciproque est fausse

Corollaire : fonctions usuelles
Les fonctions polynômes, rationnelles (quotients de polynômes), exponentielles, logarithmes, hyperboliques, et trigonométriques sont dérivables sur leur ensemble de définition, et sont donc également continues sur ceux-ci; par contre les fonctions racine carrée, racine cubique, partie entière, valeur absolue, Arcsinus, Arccosinus ne sont pas dérivables sur leur ensemble de définition.

Mais par exemple, la fonction racine carrée est continue sur $[0;+\infty[$ et de la fonction valeur absolue sur $\R$ .