Formule de Stirling

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Sommaire

1 Un équivalent de la factorielle
2 Version continue
3 Histoire
4 Nota
5 Calculs numériques

[modifier] Un équivalent de la factorielle

La formule de Stirling, du nom du mathématicien James Stirling, donne un équivalent de la factorielle au voisinage de l'infini (quand n tend vers l'infini) :

$\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1$

que l'on trouve souvent écrit ainsi :

$n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n$

[modifier] Version continue

La formule précédente est un cas particulier, pour un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction Γ d'Euler.

[modifier] Histoire

La formule a d'abord été découverte par Abraham de Moivre sous la forme

$n\,!\sim C\; n^{n+1/2}\, \mathrm{e}^{-n}$ ,

où

C

est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling fut de prouver que la constante est $C = \sqrt{2\pi}$ . Une démonstration classique de ceci utilise les intégrales de Wallis.

Démonstration du résultat de Moivre

[modifier] Nota

On peut améliorer la qualité de l'approximation de Stirling en utilisant le développement de la fonction Γ ; on trouve (après quelques efforts...) :

$n\,! = \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n \left[1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} + \frac {163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + o \left(\frac{1}{n^5} \right) \right]$

[modifier] Calculs numériques

Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n

$n \;$	$n! \;$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n$	$\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12\ n}\right)$
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40	1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800 1 307 674 368 000 2 432 902 008 176 640 000 15 511 210 043 330 985 984 000 000 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000 815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000	0,93 1,92 5,84 23,51 118,02 710,08 4 980,4 39 902,4 359 536,9 3,598 696 x $106$ 1,300 431 x $1012$ 2,422 787 x $1018$ 1,545 959 x $1025$ 2,645 171 x $1032$ 8,142 173 x $1047$	0,999 1,999 5,998 23,996 119,99 719,94 5 039,7 40 318,1 362 866,0 3,628 685 x $106$ 1,307 665 x $1012$ 2,432 882 x $1018$ 1,551 113 x $1025$ 2,652 519 x $1032$ 8,159 136 x $1047$