Méthode d'exhaustion
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En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe.
Dans le cas du calcul de l'aire d'une figure plane, par exemple, le principe est de calculer les aires de polygones inscrits et circonscrits à la figure. L'encadrement fournit une approximation d'autant meilleure quel nombre de côtés utilisé est grand. Lus par les modernes, les calculs d'exhaustion permettent d'arriver à la valeur exacte de l'aire de la figure par passage à la limite. Il s'agit pourtant d'une étape qui ne fut pas franchie par les Anciens.
On attribue à Eudoxe de Cnide la paternité de ce procédé, mais c'est Archimède qui en fit une méthode d'encadrement précise et systématique. Celle-ci connut de nombreux succès, avant d'être rendue obsolète par l'apparition du calcul infinitésimal.
[modifier] Exhaustion et quadrature
[modifier] Premier calcul par exhaustion : quadrature de la parabole
Voir l’article quadrature de la parabole.La quadrature de la parabole consiste à déterminer l'aire de la surface comprise entre une corde et une portion de parabole. Elle fut entreprise par Eudoxe, qui proposa une méthode d'obtention d'une suite de bornes inférieures. Archimède compléta le calcul en proposant une suite de bornées supérieures.
Archimède démontre qu'à chaque étape de son calcul, l'amplitude de l'encadrement obtenu est réduit de plus de la moitié et qu'en continuant le processus les valeurs seront aussi proches qu'on le souhaite de l'aire cherchée.
[modifier] Décimales de Pi
Le problème particulier du disque fut l'objet de progrès lents mais méthodiques. Toute valeur approchée de l'aire du disque donne une approximation de Pi, et voici les principales percées dans ce domaine
| Acteur | Epoque | Nombre de décimales exactes | Nombre de côtés du polygone utilisé |
|---|---|---|---|
| Archimède (Grèce) | IIIe siècle av J.C. | 2 | 96 |
| Tsu Chung Chih (Chine) | Ve siècle ap J.C. | 6 | 192 |
| Al Kashi (Perse) | XVe siècle | 14 | ? |
| van Ceulen (Allemagne) | début du XVIIe siècle | 34 | 60 × 233 |
