Module simple

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Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si et seulement si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M.

[modifier] Exemples

Un espace vectoriel de dimension 1 est un module simple.
Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.

[modifier] Propriétés

Les modules simples sont les modules de longueur 1.
Un module simple est indécomposable, c'est-à-dire qu'il n'est pas isomorphe à une somme directe de deux modules non nuls. En revanche, la réciproque est fausse.
Les modules simples sont monogènes, c'est-à-dire engendré par un élément. En effet si x est un élément non nul d'un A-module simple M, alors $\{\lambda x, \lambda \in A\}$ est un sous-module non nul de M, donc c'est M. La réciproque est encore fausse, par exemple le $\Z$ -module $\Z$ est monogène (engendré par 1) et pourtant $2\Z$ est un sous-module non trivial de $\Z$ .
Contrairement à ce qui se passe pour des espaces vectoriels, la proposition "tout module non nul possède un sous-module simple" est fausse. En effet $\Z$ n'est pas simple (point précédent) et tous ses sous-modules sont isomorphes à $\Z$ , donc non simples.
Si f est une application A-linéaire entre deux A-modules M et N et si M est simple, alors f est soit nulle, soit injective. En effet, le noyau de f est un sous-module de M, donc {0} ou M.
Si f est une application A-linéaire entre deux A-modules M et N et si N est simple, alors f est soit surjective, soit nulle. En effet, l'image de f est un sous module de N, donc {0} ou N.
Les deux résultats précédents impliquent que l'anneau des endomorphismes d'un A-module simple M est un corps. La réciproque de ce résultat est fausse : le $\Z$ -module $\mathbb{Q}$ n'est pas simple, et pourtant tout endomorphisme non nul du groupe abélien $\mathbb{Q}$ est inversible.