Nombre pair
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de bientot cette page deviendra une redirection vers Nombres pairs et impairs.
Sommaire |
[modifier] Définition
On appelle nombre pair un nombre qui est divisible par 2. Ce nombre peut se mettre sous la forme 2 x n avec n entier (pair ou impair)
Exemple: 2 (n vaut 1), 4 (n vaut 2), 8 (n vaut 4), 14 (n vaut 7), 654 (n vaut 327)
1, 3, 5, 67 sont des nombres impairs
[modifier] Opérations sur les nombres pairs
[modifier] Addition sur les nombres pairs
1 - La somme de 2 nombres pairs donne un nombre pair.
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire :
- A = 2 x d avec d entier
- B = 2 x f avec f entier
Donc
- A + B = 2 x d + 2 x f
Ce qui donne en factorisant
- A + B = 2 x (d + f)
On retrouve bien la forme des nombres pairs, à savoir 2 x n donc la somme de 2 nombres pairs donne un nombre pair.
2 - La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre impair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire :
- A = 2 x d avec d entier
- B = 2 x f + 1 avec f entier
Donc
- A + B = 2 x d + 2 x f + 1
Ce qui donne en factorisant
- A + B = 2 x (d + f) + 1
On retrouve bien la forme d'un nombre impair, à savoir 2 x n + 1 donc la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre impair.
[modifier] Multiplication sur les nombres pairs
1 - La multiplication de 2 nombres pairs donne un nombre pair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire :
- A = 2 x d avec d entier
- B = 2 x f avec f entier
Donc
- A x B = 2 x d x 2 x f
Ce qui donne
- A x B = 2 x (2 x d x f)
On retrouve encore une fois un nombre sous la forme 2 x n donc la multiplication de 2 nombres pairs donne un nombre pair
2 - La multiplication d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre pair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire :
- A = 2 x d avec d entier
- B = 2 x f + 1 avec f entier
Donc
- A x B = (2 x d) x (2 x f + 1)
Ce qui donne
- A x B = (2 x d x 2 x f) + (2 x d)
D'où
- A x B = 2 x (2 x d x f + d)
On retrouve encore une fois un nombre sous la forme 2 x n donc la multiplication d'un nombre pair et d'un nombre impair donne un nombre pair
[modifier] Soustraction sur les nombres pairs
1 - La soustraction de 2 nombres pairs donne un nombre pair
La démonstration est la même que pour l'addition sauf qu'à la fin on obtient A - B = 2 x (d - f)
2 - La soustraction d'un nombre pair et d'un nombre impair (ou inversement) donne un nombre impair
Démonstration
Soit A et B 2 nombres entiers, on peut écrire:
- A = 2 x d avec d entier
- B = 2 x f + 1 avec f entier
Donc B - A = 2 x f + 1 - 2 x d = 2 x (f - d) + 1
Qui est de la même forme qu'un nombre impair
Si on fait A - B, on obtient
- A - B = 2 x d - (2 x f + 1) = 2 x d - 2 x f - 1
Donc
- A - B = 2 x d - 2 x f - 2 + 1
- A - B = 2 x (d - f - 1) + 1 qui est la forme des nombres impairs
Donc la soustraction d'un nombre pair avec un nombre impair et inversement donne un nombre impair.
[modifier] Division sur les nombres pairs
Dans ce cas on ne peut rien dire sur le résultat obtenu, en effet, on a :
- A / B = (2 x d) / (2 x f) = d / f
et le résultat dépend de ce rapport.
